1.9 Интегрирование тригонометрических функций

1.9.1 Если под интегралом стоит произведение степени синуса на степень косинуса, причём хотя бы один из показателей степеней есть нечётное положительное число, то вычисление интеграла проводится следующим образом:

Пример 29 Вычислить интеграл .

Решение.

1.9.2 Если под знаком интеграла стоит произведение чётных степеней синуса и косинуса, то, пользуясь формулами:

понижают степени синуса и косинуса и затем интегрируют.

Пример 30 Вычислить интеграл

Решение.

1.9.3 Если подинтегральную функцию можно представить в виде произведения чётных степеней синуса и косинуса, причём хотя бы один из показателей отрицательный, то после преобразований можно получить под интегралом функцию, выраженную через тангенсы (или котангенсы), и потом интегрировать.

Пример 31 Вычислить интеграл

Решение. Оба показателя чётные, причём один из них отрицательный.

1.9.4 Если подинтегральную функцию можно представить в виде произведения отрицательных степеней синуса и косинуса:

сумма показателей которых есть число чётное: то нужно числитель и знаменатель дроби разделить на выразить результат через тангенсы (или котангенсы) и затем вычислять интеграл.

Пример 32 Вычислить интеграл .

Решение. Подинтегральную функцию можно представить в виде произведения Сумма показателей чётное число, а потому нужно числитель и знаменатель разделить на .

Итак,

.

1.9.5 Если подинтегральная функция имеет вид или , т.е. в числителе стоит степень с чётным положительным показателем, то нужно числитель и знаменатель дроби умножить на в случае или на в случае , выразить дробь через синусы или косинусы, сделать подстановку и потом интегрировать.

Пример 33 Вычислить интеграл

Решение. В числителе чётная степень, а в знаменателе – нечётная. Умножаем числитель и знаменатель на

(интегрируем по частям, полагая , отсюда: )

1.9.6 Если под интегралом дана функция , рациональная относительно синуса и косинуса , то эта функция может быть преобразована в выражение рациональное относительно подстановкой . При этом:

Эта подстановка приводит к громоздким выкладкам, и ею следует пользоваться только в тех случаях, когда вычисление интеграла не может быть сведено к ранее рассмотренным примерам.

Пример 34 Вычислить интеграл

Решение. Так как под интегралом стоит функция рациональная относительно , то мы можем применить указанную выше подстановку:

1.9.7 При вычислении интегралов необходимо преобразовать произведение тригонометрических функций в сумму или разность, пользуясь одной из следующих формул:

Пример 35 Вычислить интеграл

Решение. Пользуюсь формулой , получим:

Отсюда:

1.10 Тригонометрические подстановки

Если под знаком интеграла стоит иррациональная функция, содержащая только радикалы вида то для приведения функции к рациональному виду целесообразно пользоваться тригонометрическими подстановками.

В случае иррациональностей вида пользуются одной из подстановок: . Любая из этих подстановок приводит функцию к рациональному виду относительно .

В случае иррациональности вида следует пользоваться подстановкой Если под интегралом имеются только радикалы вида то пользуются подстановкой

Рассмотрим несколько интегралов, при вычислении которых удобно пользоваться тригонометрическими подстановками.

Пример 36 Вычислить интеграл

Решение. Для вычисления этого интеграла удобно применить подстановку:

(1)

так как эта подстановка приводит подинтегральную функцию к рациональному виду относительно

Получаем:

так как из равенства (1) имеем: