- •1 Методические указания
- •1.1 Понятия неопределённого интеграла. Свойства
- •1.2 Непосредственное интегрирование
- •1.3 Метод подстановки
- •1.4 Вычисление интегралов типа
- •1.5 Вычисление интегралов типа
- •1.6 Метод интегрирования по частям
- •1.7 Интегрирование рациональных функций
- •1.8 Интегрирование некоторых классов иррациональных функций
- •1.9 Интегрирование тригонометрических функций
- •1.10 Тригонометрические подстановки
- •2 Нулевой вариант
- •3 Решение 0 варианта
- •4 Расчетные задания
1.4 Вычисление интегралов типа
Пример 12 Если числитель постоянный, а в знаменателе стоит трёхчлен второй степени, то знаменатель нужно представить в виде суммы или разности квадратов:
Пример 13 Если в числителе стоит линейный двучлен, а в знаменателе трёхчлен второй степени, то прежде всего нужно преобразовать числитель так, чтобы из него можно было выделить производную знаменателя. Производная знаменателя , а потому числитель нужно умножить на и перед интегралом ввести множитель :
Интеграл представим в виде суммы двух интегралов:
1.5 Вычисление интегралов типа
Пример 14 Если числитель не содержит переменной x,а в знаменателе под радикалом стоит трёхчлен второй степени, то этот трёхчлен нужно представить в виде суммы или разности квадратов:
Пример 15 Если в числителе стоит линейный двучлен, то прежде всего нужно числитель преобразовать так, чтобы из него можно было выделить производную подкоренного выражения. Производная подкоренного выражения , а потому числитель нужно умножить на 2 и перед интегралом ввести множитель :
+
1.6 Метод интегрирования по частям
Этот метод опирается на равенство:
(I)
Для применения этого метода подинтегральное выражение следует представит в виде произведения одной функции на дифференциал другой функции. Если под интегралом стоит произведение логарифмической или обратной тригонометрической функции на алгебраическую, то за u следует принимать функции arc , arc , arc , arc и .
Если же под интегралом имеется произведение тригонометрической или показательной функции на алгебраическую, то за u обычно принимают алгебраическую функцию.
Пример 16 Вычислить интеграл .
Решение. Под интегралом произведение обратной тригонометрической функции на . Принимаем , отсюда:
Пользуясь равенством (I), получаем:
1.7 Интегрирование рациональных функций
Пусть под интегралом стоит рациональная дробь , где и - многочлены. В тех случаях, когда степень числителя больше или равна степени знаменателя, необходимо выделить целую часть, разделив числитель на знаменатель.
1-й случай. Корни знаменателя - действительные числа: , , ,…, и ни один из них не повторяется, т.е.
В этом случае дробь можно представить в виде суммы элементарных добей, т.е.
(I)
где коэффициенты , ,…, - постоянные.
Пример 17 Вычислить интеграл
Решение. Под интегралом дана рациональная дробь. Степень числителя ниже степени знаменателя, и знаменатель имеет действительные различные корни.
Пользуясь равенством (I), получаем:
(1)
или
Теперь нужно подобрать коэффициенты так, чтобы дроби были равны тождественно, а следовательно, чтобы имело место тождество:
(2)
Для вычисления коэффициентов А, В, С пользуемся методом неопределённых коэффициентов. Раскрываем скобки в правой части последнего равенства и располагаем члены по степеням :
Если многочлены тождественно равны, то равны коэффициенты при одинаковых степенях . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем систему уравнений:
Решая систему методом Гаусса, находим:
Подставляя найденные значения в равенство (1), получаем
Если знаменатель дроби имеет действительные различные корни, то коэффициенты удобнее и быстрее вычислять иначе.
Применим второй способ для вычисления тех же коэффициентов,- метод частных значений.
Берём равенство:
(2)
и подставляем вместо значения
Каждое из этих чисел обращает в нуль два члена правой части равенства. Вообще при применении этого способа следует вместо подставлять такие числа, которые обращают в нуль ряд членов правой части.
Из равенства (2), выполняя подстановку, получаем:
Отсюда:
Теперь можно вычислить интеграл:
2-й случай. Знаменатель рациональной дроби имеет действительные кратные корни: т.е.
В этом случае рациональная дробь может быть представлена в виде суммы:
где постоянные коэффициенты.
Пример 18 Вычислить интеграл
Решение. Степень числителя ниже степени знаменателя. Знаменатель имеет действительные кратные корни. Пользуясь равенством (II), получаем:
Приводим правую часть к общему знаменателю и приравниваем числители:
В правой части раскрываем скобки и группируем члены по степеням :
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему уравнений:
Решив систему, получим:
Итак,
Следовательно,
3-й случай. Знаменатель рациональной дроби (многочлен с действительными коэффициентами) имеет как действительные, так и комплексные корни, причём среди комплексных корней нет повторяющихся. В этом случае знаменатель может быть представлен в виде произведения линейных множителей и множителей второй степени:
так как произведение двух линейных комплексных сопряжённых множителей равно квадратному трёхчлену с действительными коэффициентами:
Дробь, стоящая под интегралом, может быть представлена в виде суммы:
где постоянные коэффициенты.
Пример 19 Вычислить интеграл
Решение. Знаменатель имеет два действительных корня
и два различных комплексных корня
, а потому может быть представлен в виде произведения:
действительных множителей первой и второй степеней.
Пользуясь равенством (III), получаем:
Приводим правую часть к общему знаменателю и приравниваем числители дробей:
Представляя правую часть в виде многочлена, расположенного по степеням , получаем:
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему уравнений:
Решив систему, получаем:
Отсюда:
Следовательно:
4-й случай. Знаменатель рациональной дроби имеет как действительные, так и комплексные корни, причём среди комплексных корней есть повторяющиеся. В этом случае знаменатель может быть представлен в виде произведения:
,
где
т.е. сумма показателей равна степени многочлена.
В этом случае дробь может быть представлена в виде суммы:
, (IV)
где ,…, ,…, ,…, постоянные коэффициенты.