![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Предисловие
- •1. Введение в анализ
- •1.1. Основные элементарные функции
- •1.1.1. Некоторые множества вещественных чисел
- •1.1.4. Понятие о функции
- •1.2. Предел последовательности. Бесконечно малые и
- •1.2.1. Предел поcледовательности
- •1.2.2. Ограниченные и неограниченные последователь-
- •1.2.3. Бесконечно малые и бесконечно большие последо-
- •1.2.5. Основные теоремы о пределах
- •1.2.6. Монотонные последовательности
- •1.2.7. Понятие о подпоследовательности числовой по-
- •1.2.8. Необходимое и достаточное условие сходимости
- •1.3. Функция. Предел функции. Непрерывность функции
- •1.3.1. Определение предела функции
- •1.3.2. Теорема (критерий Коши существования предела
- •1.3.3. Непрерывность функции в точке
- •1.3.4. Односторонние пределы
- •1.3.5. Свойства функций, непрерывных в точке
- •1.3.6. Два замечательных предела
- •1.3.7. Эквивалентные бесконечно малые функции и их
- •1.3.8. Монотонные функции. Теорема о существовании
- •1.3.9. Разрывы первого и второго рода
- •2.2. Основные правила и формулы дифференцирования
- •2.3. Дифференциал функции
- •2.4. Производная сложной функции, обратной функции, функции, заданной параметрически
- •Производная обратной функции
- •Производные обратных тригонометрических функций
- •Аналогично
- •2.5 Уравнения касательной и нормали к графику функ-
- •Рассмотрим кривую, уравнение которой .
- •2.6. Производные высшего порядка. Формула Лейбница
- •2.7. Возрастание и убывание функции в окрестности
- •Доказательство:
- •2.8. Поведение функции на отрезке. Теоремы о среднем
- •2.9. Критерии возрастания и убывания функции на ин-
- •2.10. Формула Тейлора Начнем с того, что выведем формулу Тейлора для многочлена
- •Формулы Тейлора для важнейших элементарных функций
- •2.11. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
- •Замечание 1.
- •2.12. Исследование функции одной переменной
- •2.12.1. Отыскание участков монотонности функции
- •2.12.2. Отыскание точек возможного экстремума
- •2.12.3. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба
- •2.12.4. Асимптоты графика функции
- •2.12.5. Общая схема исследования функции и построения ее графика
- •Целесообразно провести следующие исследования:
- •2.13. Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке
- •3. Функции нескольких переменных
- •3.1. Примеры функций нескольких переменных
- •3.2. Определение функции двух переменных. Область определения функции двух переменных
- •3.3. Геометрическое изображение функции двух переменных
- •3.4. Предел и непрерывность функции двух переменных
- •3.5. Частные приращения и частные производные
- •3.6. Полное приращение и полный дифференциал. Использование дифференциала для приближенных вычислений
- •3.7. Сложная функция и ее полная производная
- •3.8. Производная неявно заданной функции
- •3.9. Частные производные высших порядков
- •3.10. Производная по направлению
- •Где и стремятся к нулю, если . Разделим все члены в (3.10.1) на :
- •То , тогда и
- •Аналогично производные и являются производными вдоль положительных направлений координатных осей и .
- •3.11. Градиент
- •3.12. Формула Тейлора для функции двух переменных
- •3.13. Экстремум функции двух переменных
- •3.14. Условный экстремум функции многих переменных
- •Логинов Вениамин Анатольевич
- •Дифференциальное исчисление
- •Курс лекций по дисциплине «Математика» для студентов
- •Инженерных и экономических специальностей мгавт
- •117105, Г. Москва, Новоданиловская нанбережая, строение 2, корп. 1
1.2.2. Ограниченные и неограниченные последователь-
ности
Определение.
Последовательность
называется ограниченной сверху (снизу),
если существует такое число M
(m),
что каждый член xn
последовательности удовлетворяет
неравенству
При этом M
и m
называются соответственно верхней и
нижней гранями последовательности
.
Очевидно, любая ограниченная сверху последователь-ность имеет бесконечное число верхних граней: любое число M*, большее M, также является верхней гранью. Аналогичное замечание имеет место для нижней грани.
Определение.
Последовательность
называется ограниченной с обеих сторон
или просто ограниченной, если она
ограничена и сверху и снизу, т.е. если
существует такие числа m
и M,
что любой член последовательности xn
удовлетворяет
неравенствам
Если последовательность ограничена и M и m – ее верхняя и нижняя грани, то все члены xn этой последовательности удовлетворяют неравенству
,
(*)
где
Верно и обратное: если все члены последовательности xn удовлетворяют неравенству (*), то последовательность ограничена.
Последовательность называется неограниченной, если для любого А>0 найдется член xn этой последовательности, удовлетворяющий неравенству
.
Примеры:
Рассмотрим последовательность
1)
.
Эта
последовательность ограничена.
Действительно, любое число
является ее верхней гранью, а любое
число
– нижней гранью.
2)
–1,
–4 , –9 , ... , –n2,
... .
Последовательность
ограничена сверху
и не ограничена снизу.
3)
–1,
2, –3, 4, ... .
Последовательность не ограничена.
1.2.3. Бесконечно малые и бесконечно большие последо-
вательности
Определение.
Последовательность
называется бесконечно большой, если
для любого А>0
можно указать номер
такой, что при
все члены xn
этой последовательности удовлетворяют
неравенству
.
Замечание.
Любая бесконечно большая последовательность является неограниченной; однако неограниченная последовательность может и не быть бесконечно большой. Пример: последовательность 1, 2, 1, 3, …, 1, n,... является неограниченной, но не является бесконечно большой, т.к. при A>1 неравенство не имеет места для всех членов xn с нечетными номерами.
Определение.
Последовательность
называется бесконечно малой, если для
любого
можно
указать номер
такой, что при
все члены
этой последовательности удовлетворяют
неравенству
.
Примеры:
Доказать, что последовательность
является бесконечно большой, а при
бесконечно малой.
а)
Пусть
.
Тогда
,
где
.
+(положительные
члены), т.е.
Теперь зафиксируем произвольное число
A>0
и выберем N
столь большим, чтобы
(например, выберем
).
Тогда
.
Но при
и
,т.е.
Утверждение доказано.
б)
Пусть
.
В этом случае
Теперь
.
Зафиксируем произвольное
и выберем номер N
из условия
.
Т.к.
и при
,
то из полученных неравенств вытекает,
что
.
Утверждение доказано.
Докажем, что
– бесконечно малая последовательность. В самом деле, если
Поэтому по заданному достаточно выбрать номер N из условия
. Тогда при
и утверждение доказано.
Теорема.
Если
– сходящаяся последовательность и
то
– бесконечно малая последовательность.
Доказательство:
Т.к.
для любого
можно найти номер
такой, что при
выполняется неравенство
,
это и означает, что при
,
т.е.
– бесконечно малая последовательность.
Из этой теоремы следует, что члены сходящейся последовательности могут быть представлены в виде:
где
–
бесконечно малая последователь-ность.
1.2.4. Теоремы о бесконечно малых последовательно-
стях
Теорема 1.
Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Доказательство.
Пусть
и
– бесконечно малые последовательности.
Докажем, что
–
бесконечно малая последовательность.
Пусть
– произвольное число, N1
– номер, начиная с которого
,
а N2 –
номер, начиная с которого
.
Тогда, если
,
то при
,
т.е.
.
Теорема доказана.
Теорема 2.
Разность двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Теорема
доказывается аналогично предыдущей,
только вместо неравенства
следует взять неравенство
.
Следствие.
Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Теорема 3.
Бесконечно малая последовательность ограничена.
Доказательство:
Пусть
– бесконечно малая последовательность
и
–
произвольное число. Пусть N
– номер, начиная с которого
.
Тогда любой член последовательности с
номером
ограничен по модулю числом
.
Из оставшихся первых
членов выберем наибольший по модулю:
и зададим
.
Тогда для всех членов последовательности
,
что и означает ограниченность
последовательности. Теорема доказана.
Теорема 4.
Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность представляет собой бесконечно малую последовательность.
Доказательство:
Пусть
– ограниченная, а
– бесконечно малая последовательности.
Т.к.
ограничена, то существует число A>0,
такое, что любой член xn
удовлетворяет
неравенству
Возьмем произвольное
.
Поскольку
– бесконечно малая последовательность,
то для положительного числа
можно указать номер N
такой, что при
.
Тогда при
.
Поэтому последовательность
– бесконечно малая. Теорема доказана.
Следствие.
Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей представляет собой бесконечно малую последовательность.
Теорема 5.
Если
– бесконечно большая последовательность,
то начиная с некоторого номера n
определена последовательность
,
которая является бесконечно малой
последовательностью. Если все элементы
бесконечно малой последовательности
не равны нулю, то последовательность
бесконечно большая.
Доказательство:
Во-первых, надо четко понимать, почему в формулировке теоремы имеются слова “начиная с некоторого номера”. Дело в том, что у бесконечно большой последовательности могут встретиться нулевые члены и тогда последовательность не определена. Но вспомним определение бесконечно большой последовательности – у этой последовательности, начиная с некоторого номера N*, все члены по модулю превосходят любое положительное число A. Следовательно, у бесконечно большой последовательности нулевых членов может быть лишь конечное число. Другими словами, начиная с номера N*, последовательность оказывается определенной и формулировка теоремы справедлива для n>N*.
Докажем
теперь, что
– бесконечно малая последовательность.
Пусть
– любое положительное число. Для числа
можно указать номер
такой, что при
члены xn
последовательности
удовлетворяют неравенству
.
Поэтому, начиная с указанного номера
N,
выполняется неравенство
.
Таким образом, доказано, что – бесконечно малая последовательность.
Доказательство второй части теоремы провести самостоятельно (оно аналогично только что приведенному).