3.14. Условный экстремум функции многих переменных

Под условным экстремумом функции понимают экстремум функции не для независимых аргументов, а для аргументов, связанных некоторым условием (например, уравнением).

Рассмотрим такую задачу: имеется кусок жести площадью 2a. Надо сделать из него закрытую коробку в форме прямоугольного параллелепипеда, имеющую наибольший объем.

Пусть х, у, z – ребра параллелепипеда, тогда его объем равен V  xyz. (3.14.1)

Надо найти максимум этой функции при условии, что

2ху+2xz+2yz=2a. (3.14.2)

Это и есть задача на условный экстремум: переменные связаны условием (3.14.2).

В общем случае (при наличии одного условия) задача ставится так: требуется найти экстремум функции

u=f(x,y) (3.14.3)

при условии, что х и у связаны уравнением

(х,у)=0. (3.14.4)

При наличии условия (3.14.4) из двух переменных х и у независимой будет только одна, например, х, т.к. у определяется из (3.14.4) как функция от х. Если уравнение (3.14.4) можно разрешить относительно у, то, подставив это выражение в (3.14.3), получим функцию одной переменной х и сведем задачу к нахождению обычного, т.е. безусловного экстремума. Нас будет интересовать общий случай, когда уравнение (3.14.4) невозможно разрешить относительно одной из переменных.

Поскольку функция u должна иметь экстремум, то , т.е.

(3.14.5)

Дифференцируя равенство (3.14.4) по х, найдем

(3.14.6)

Для решения уравнений (3.14.5) и (3.14.6) применим прием, носящий имя Лагранжа. Умножим (3.14.6) на неопределенный пока множитель  (множитель Лагранжа), сложим с (3.14.5) и получим

или

(3.14.7)

Функцию F(x,y,)=f(x,y)+(x,y) в теории условного экстремума называют функцией Лагранжа.

Подберем  так, чтобы

Тогда из (3.14.7):

Таким образом, дело свелось к решению системы

(3.14.8)

В этой системе три неизвестных: , х и у. Параметр Лагранжа  играет вспомогательную роль. Формально систему (3.14.8) можно получить так: приравнять нулю все частные производные от функции Лагранжа (по х, у и ).

(3.14.8) – это необходимое условие экстремума. Характер же экстремума и ответ на вопрос: "есть ли экстремум" определяется после нахождения критических точек с помощью достаточного критерия экстремума.

Рассмотрим задачу изготовления коробки максимального объема.

Нам надо найти максимум функции

V=xyz

при условии, что

ху+xz+yz–a=0 (x>0, y>0, z>0).

Составим функцию Лагранжа:

F(x,y,z,)=xyz+(xy+xz+yz–a).

Найдем ее частные производные по x, y, z,  и приравняем их нулю:

Эту систему удобно решать так: умножим первое уравнение на х, второе – на у, третье – на z и сложим их.

3xyz+(2xy+2xz+2yz)=0.

С учетом четвертого уравнения 3xyz+2a=0, т.е.

Подставим выражение для  в первые три уравнения:

Т.к. x>0, y>0, z>0, то нулями могут быть только выражения в квадратных скобках, т.е.

Из первых двух уравнений ясно, что х=у, а из второго и третьего, что у=z. Таким образом, . Это единственная система значений, при которых возможен максимум или минимум.

Из геометрических соображений ясно, что это максимум, т.к. объем коробки не может быть неограниченно большим. Можно это утверждение доказать строго, но обычно вполне достаточно геометрических соображений.

Итак, чтобы коробка имела максимальный объем, необходимо, чтобы она имела форму куба с ребром .