2.12.4. Асимптоты графика функции

Определение 1.

П рямая х=а является вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), если хотя бы одно из предельных значений

Пример.

1)

х=0 – вертикальная асимптота.

2) y=lnx;

х=0 – вертикальная асимптота.

Определение 2.

Прямая y=kx+b (*) является наклонной асимптотой графика функции y=f(x) при , если функция f(x) представима в виде

Теорема.

Для того, чтобы график функции y=f(x) имел при наклонную асимптоту (*), необходимо и достаточно, чтобы существовало два предела:

Аналогично определяется асимптота при Если хотя бы один из этих пределов не существует или бесконечен, то соответствующей асимптоты нет.

Пример.

При имеется наклонная асимптота Y=2x–1.

Кроме того, при

Имеется вертикальная асимптота х= –1.

График функции выглядит так:

Если оба предела: существуют, но k=0, это означает, что имеет место не наклонная, а горизонтальная асимптота.

Пример.

Таким образом, функция имеет две горизонтальные асимптоты:

левую у= –1 и правую у=1. График выглядит так:

2.12.5. Общая схема исследования функции и построения ее графика

Для качественного исследования графика функции y=f(x)

Целесообразно провести следующие исследования:

1. Найти область определения функции.

2. Выяснить вопрос о существовании асимптот (вертикальных и наклонных).

3. Найти области возрастания и убывания функции и точки экстремума.

4. Найти области сохранения направления выпуклости и точки перегиба графика.

5. Найти точки пересечения с осью Оx.

Обычно по полученным данным легко строится эскиз графика.

В качестве примера построим график функции

1. Наша функция представляет собой рациональную дробь. Она определена при всех значениях х, при которых знаменатель не обращается в нуль. Область определения функции (определена везде кроме точки х=0).

2. Выясним, есть ли асимптоты.

Таким образом, имеется вертикальная асимптота х=0.

А есть ли наклонная асимптота?

Итак, при и при график имеет наклонную асимптоту

3. Для нахождения области возрастания и убывания вычислим первую производную

Имея в виду, что при х=0 функция и ее первая производная не существуют, составим таблицу, в которой отразим области сохранения знака первой производной

Область значений х
Знак	+	–	+	–	+
Поведение функции	Возр.	Убыв.	Возр.	Убыв.	Возр.

Из приведенной таблицы очевидно, что функция имеет следующие точки экстремума:

1. максимум при х= –3, при этом

2. максимум при х=1,

3. минимум при х=2,

4. Для нахождения областей сохранения выпуклости вычислим вторую производную

Составим таблицу сохранения знака (заметим, что при х=0 не существует).

Область значений х
Знак	–	–	+
Направление выпуклости графика	Вверх	Вверх	Вниз

Из этой таблицы очевидно, что график функции имеет перегиб в точке При этом

5. Найдем точки пересечения графика с осью Оx. Эти точки соответствуют вещественным корням уравнения

(*)

а квадратный трехчлен имеет только комплексные корни

, то уравнение (*) имеет единственный вещественный корень , т.е. график пересекает ось Оx только в точке . По полученным данным строим эскиз графика.