20. Определение и примеры линейного оператора. Матрица линейного оператора и её свойства.

Пусть V – векторное пространство. Тогда отображение φ: V →V называется линейным оператором, если выполняются следующие свойства: 1) ∀x, y ∈ V φ(x+y) = φ(x)+φ(y). 2) ∀x∈ V ∀𝜶∈R, φ(𝜶x)=𝜶φ(x). Для любого векторного пространства всегда определенны 2 оператора: 1)Нулевой оператор 0: ∀x∈V, 0(х)=0, 2)Тождественный оператор E: ∀x∈V, Е(х)=х.

V-векторное пространство, E-базис = { e₁,e₂,…,e_n }. Матрицей линейного оператора φ: V →V называется следующая матрица [φ]= {a_ij} в j-столбце которой стоят координаты образа вектора. φ(ej) в базисе E φ(ej)=(a_1je₁+…+a_nje_n).

21. Определение характеристического многочлена матрицы, собственных векторов и собственных значений.

Вектор x≠0 называется собственным вектором линейного оператора А, если найдётся такое число λ, что Ã(x)=λx. Число λ называется собственным значением оператора Ã (матрицы А), соответствующим вектору х. Определитель | A − λE | является многочленом от λ. Этот многочлен называется характеристическим многочленом оператора Ã или матрицы А. Характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбранного базиса. Ценность характеристического многочлена в том, что собственные значения (число λ) матрицы являются его корнями.

22. Теорема о связи характеристического многочлена и собственных значениях линейного оператора.

Пусть А матрица линейного оператора φ:V→V. Тогда все собственные значения есть решения характеристического уравнения | A − λE |=0.

| A − λE |= -λ³+(а₁₁+а₂₂+а₃₃)λ²-(А₁₁+А₂₂+А₃₃)λ+detА.

23. Линейная модель обмена.

Линейная модель обмена-модель международной торговли. Пусть имеется n стран S₁,S₂ ,...,S_n, нац.доход каждой из которых равен соответственно x₁,x₂ ,...,x_n. Обозначим коэффициентами a_ij долю национального дохода, которую страна S_j тратит на покупку товаров у страны S_i. Будем считать, что весь национальный доход тратится на закупку товаров либо внутри страны, либо на импорт из других стран, т.е. Рассмотрим матрицу А= , которая получила название структурной матрицы торговли. Для любой страны S_i (i = 1,2,...,n) выручка от внутренней и внешней торговли составит:p_i = a_i1 x₁ + a_i2 x₂ + ... + a_in x_n. Для сбалансированной торговли необходима бездефицитность торговли каждой страны S_i, т.е. выручка от торговли каждой страны должна быть не меньше ее национального дохода:p_i > = x_i (i = 1,2,...,n).

24. Определение и примеры скалярного произведения векторов векторного пространства.

Скалярным произведением (a,b) двух векторов a и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла φ между ними: (a,b)=ab=|a|*|b|*cosφ. Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторв: (a,b)=ab=|a|*|b|*cosφ= x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂.

25. Свойства скалярного произведения

1.(x,y)=(y,x) – коммутативное свойство. 2.(x,y+z)=(y,x)+(x,z) – дистрибутивное свойство. 3.(𝜶,x,y)=𝜶(x,y) – для любого действительного числа 𝜶. 4. (x,x)≥0, если x-ненулевой вектор, то строго больше, а если x-нулевой вектор, то равно нулю.