9. О пределение свободного вектора и операций над ними.

Свободный вектор – вектор, который вполне определен своими координатами: он не привязан ни к какой точке пространства и при параллельном переносе (с сохранением направления и длины), его координаты не изменяются.

Сумма: Сложение двух свободных векторов можно осуществлять как по правилу параллелограмма, так и по правилу треугольника. Правило треугольника. Для сложения двух векторов и по правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора. Правило параллелограмма. Для сложения двух векторов и по правилу параллелограмма оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала.

Векторное произведение: векторным произведением вектора а на вектор b называется такой вектор с, что 1)с|а,c|b. 2) |c|=|a|*|b|*(cos a b) 3)a,b,c- правая тройка векторов.

10. Определение скалярного произведения векторов и его свойства.

Скалярным произведением векторов a и b называется число, равное |a|*|b|*cos(a b). Обозначается (ab). Свойства: 1. a*b=b*a – переместительный закон. 2. a*(b+c)=a*b+a*c – распределительный закон. 3. Если a||b, то a*b=±ab. В частности, a² =a*a=aacos0=a²; отсюда a²=√a². 4. Если a┴b, то a*b=abcos90=0.

11. Определение направляющего вектора. Общее и каноническое уравнение прямой на плоскости.

Направляющим вектором прямой l называется любой ненулевой вектор, который || l. Каноническое уравнение прямой: Пусть прямая l имеет направляющий вектор e=(e_x;e_y) и проходит через точку М=(x₀;y₀). Тогда прямая l задаётся уравнением, которое называется каноническим.

Общее уравнение прямой: Любая прямая l может быть задана уравнением Ax+By+C=0, которое называется общим, где A²+B²≠0.

12. Общее и каноническое уравнение прямой в пространстве.

Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей. Так как точка прямой принадлежит каждой из плоскостей, то ее координаты обязаны удовлетворять уравнениям обеих плоскостей, то есть удовлетворять системе из двух уравнений.

И так, если уравнения двух непараллельных плоскостей-А1x+B1y+C1z+D1=0 и А2x+B2y+C2z+D2=0, то прямая, являющаяся их линией пересечения, задается системой уравнений, которые называются общими уравнениями прямой в пространстве.

Пусть прямая l имеет направляющий вектор e=(k;l;m) и проходит через точку М=(x₀;y₀;z₀). Тогда прямая l задаётся уравнением, которое называется каноническим.

13. Определение эллипса, гиперболы, параболы. Классификация кривых второго порядка.

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, задающееся в некоторой прямоугольной системе координат уравнением: Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, задающееся в некоторой прямоугольной системе координат уравнением:

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, задающееся в некоторой прямоугольной системе уравнением:

Прямой второго порядка называется геометрическое место точек плоскости задающееся в некоторой прямоугольной системе координат уравнением: a₁₁x²+2a₁₂xy+a₂₂y²+b₁x+b₂y+c=0, где a₁₁²+a₁₂²+a₂₂²≠0.

К ривые второго порядка: 1.Невырожденные прямые: Кривая второго порядка называется невырожденной, если 

2. Вырожденные прямые: Кривая второго порядка называется вырожденной, если Δ = 0.