4. Определение алгебраического дополнения. Теорема о разложении определителя по строке. Теорема об определите произведения двух матриц.

Алгебраическим дополнением А_ij элемента а_ij матрицы n-го порядка называется его минор, взятый со знаком (-1)^i+j .

Теорема о разложении опред.по строке: Пусть дана квадратная матрица А=(аij) размера n*n. Тогда для каждого числа i 1≤i≤n, справедлива следующая формула: detA=a_i1A_i1+a_i2A_i2+…+a_inA_in.

Теорема об опред.произв.двух матриц: Пусть А и В две квадратные матрицы одинакового размера. Тогда det(А+В)=detA*detB.

5. Определение обратной матрицы. Свойства обратной матрицы. Критерий обратимости матриц.

Матрица А^-1 называется обратной, если существует такая матрица В, что АВ=ВА=Е. Из определения следует, что только квадратная матрица имеет обратную; в этом случае т обратная матрица является квадратной того же порядка.

Свойства обр.матрицы: Если матрица А обратима, тогда 1.Существует единичная матрица, обратная к А. 2.DetA≠0 и det(A^-1)=1/detА. 3.Если α≠0, то αА так же обратима и (αА)^-1=А^-1/n. 4.А^t так же обратима и (А^t)^-1=(А^-1)^t. 5.Пусть матрица В так же обратима и (АВ)^-1=А^-1В^-1.

Критерий обратимости: Матрица А размера n*n обратима тогда и только тогда, когда detА≠0. Более того, справедлива формула.

6. Решение слу при помощи обратной матрицы. Теорема Крамера.

Теорема Крамера: Пусть ∆-определитель матрицы системы А, а ∆j – определитель матрицы, получаемой из матрицы А заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если ∆≠0, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам: xj=∆j/∆, где J=1,2,…,n.

Если необходимо решить систему линейных уравнений Ax = b, (b — ненулевой вектор) где x — искомый вектор, и если A ^{− 1} существует, то x = A ^{− 1}b.

7. Линейная модель межотраслевого баланса (Модель Леонтьева).

Цель балансового анализа – ответить на вопрос, возникающий в макроэкономике и связанный с эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен быть объём производства каждой из n отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли. Ведём обозначения: x_i-общий (валовый) объём продукции i-ой отрасли; x_ij-объём продукции i-ой отрасли и потребляемой j-й отраслью в процессе производства; y_i-объём конечного продукта i-ой отрасли для непроизводственного потребления. Соотношение баланса: Введём коэффициенты прямых затрат:

Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат А обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y. X=AX+Y.

8. Определения комплексного числа, операций над ними. Формула Муавра, формула для нахождения корней из комплексных чисел.

Комплексное число - расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается С. Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма x + iy, где x и y — вещественные числа, i — мнимая единица. Операции над компл.числами:1.Сложение/вычитание: Сумма/разность двух комплексных числел z0 и z1 есть также комплексное число z=z1±z0. Умножение: Для того чтобы получить формулу для умножения комплексных чисел необходимо перемножить два комплексных числа по правилу умножения многочленов, таким образом получим так же комплексное число. Деление: Частное двух комплексных чисел – это дробь, числитель и знаменатель которой умножен на сопряженное знаменателю выражение. Формула Муавра: zⁿ=|ρ|ⁿ(cosnφ+isinnφ). Формула извлечения корней из компл.чисел: ⁿ√z=ⁿ√ρ(cos(φ\n+2πk\n)+isin(φ\n+2πk\n).