26. Нахождение функций по плотности распределения

27. Числовые характеристики случайных величин

Модой(M_o(X)) CB X называется ее наиболее вероятное значение, т.е. значение, для кот. вер. p_i или плотность вероятности f(x) достигает максимума. Если вер. или плотность вероятности достигает максимума не в одной, а в несколбких точках, то распредел. называется полимодальным.

Медианой (M_e(X)) НСВ Х называется такое ее значение, для кот. вер. того, что X< M_e(X) равна вер. того, что X> M_e(X) и равна ½, т.е. вер. того, что СВ Х примет значение меньше M_e или больше ее одна и таже и равна ½. Геометрически медиана – это вертикальн. прямая x= M_e(X), проходящая через точку M_e(X), кот. делит площадь фигуры кривой распределения на 2 равные части.

Коэффициент ассиметрии(А). A= , где - среднеквадратич. отклонение, - центральный момент 3-ей степени. Если распределение симметрично относительно мат. ожидания, то А=0.

Эксцессом или коэффициентом эксцесса называют число E= -3. Число 3 вычитается из соотношения , т.к. для наиболее часто встречающегося нормальн. распределения величина =3. Кривые более островершинные, чем нормальные обладают положительн. эксцессом, а более плосковершинные – отрицат. эксцессом.

28. Равномерный закон распределения нсв

Пусть X - НСВ, говорят, что НСВ распределена равномерно на [а,в], если плотность распределения(f(x)) постоянна(=с), а вне этого промежутка равна 0

Согласно св-в плотности распределения – полная площадь под кривой распределения =1, а для заданного распределения 1=с(в-а) => c=1/(в-а) =>X распределена равномерно если

Найдем ФРСВ равномерно распределенной на [a,b]

1. x<a

2. a<x<b

3. x>b

Найдем числовые характеристики

29. Показательный закон распределения нсв

Случайная величина распределена по показательному закону если

В таком случае

1. при x<0

2. x>0

MX= =1/λ

DX= =

30. Нормальный закон распределения нсв

Нормальный закон распределения задается плотностью распределения вида исследуем вид кривой распределения

1. ОДЗ x любое

2.

3. =0 =>x-a=0=>x=a-стационарная точка

Выясним смысл параметров а и σ

Покажем, что а=MX

31. Нормальная кривая. Влияние параметров на ее форму.

График плотности нормального распределения называется нормальной кривой или кривой Гаусса.

            Нормальная кривая обладает следующими свойствами:

            1) Функция определена на всей числовой оси.

            2) При всех х функция распределения принимает только положительные значения.

            3) Ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика плотности вероятности, т.к. при неограниченном возрастании по абсолютной величине аргумента х, значение функции стремится к нулю.

            4) Найдем экстремум функции.

            Т.к. при y’ > 0 при x < m и y’ < 0 при x > m , то в точке х = т функция имеет максимум, равный .

            5) Функция является симметричной относительно прямой х = а, т.к. разность

(х – а)  входит в функцию плотности распределения в квадрате.

            6) Для нахождения точек перегиба графика найдем вторую производную функции плотности.

            При x = m + s и x = m - s вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки меняет знак, т.е. в этих точках функция имеет перегиб.

            В этих точках значение функции равно .

            Построим график функции плотности распределения.

 

 

            Построены графики при т =0 и трех возможных значениях среднего квадратичного отклонения s = 1, s = 2 и s = 7. Как видно, при увеличении значения среднего квадратичного отклонения график становится более пологим, а максимальное значение уменьшается..

            Если а > 0, то график сместится в положительном направлении, если а < 0 – в отрицательном.

            При а = 0 и s = 1 кривая называется нормированной. Уравнение нормированной кривой: