9. Теорема сложения вер-тей совместных событий

Определ.: События А и В назыв. совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании, т.е. есть элементарн. события, входящие и в событие А, и в соб. В. Теорема: Вероятн. появления хотя бы 1 из 2-ух совместн. событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления, т.е. P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB). Доказ-во: Пусть в рез-те опыта возможны N равновозможн. исходов. Пусть далее событию А благоприятствует М исходов, а событию В благопр. К исходов. События А и В совместны, поэтому часть указан. исходов благоприятст. и событию А, и соб. В. Предположим, что таких исходов L, тогда P(A)=M/N, P(B)=K/N, P(AB)=L/N. Событие А+В заключается либо в наступлении события А, либо соб. В, либо соб. АВ, поэтому ему будет благоприятствовать M+K-L исходов. Тогда P(A+B)=(M+K-L)/N=M/N+K/N-L/N. Вероятн. суммы 3-ех совместн. событий вычисляются по формуле: P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)

10. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Пусть требуется определить вер. некотор. события А, кот. может произойти вместе с одним из событий H₁,H₂,…,H_n, образующ. полную группу несовместн. событий. События H₁,H₂,…,H_n будем называть гипотезами. Докажем, что в этом случае P(A) вычисляется как + +…+ = . Т.е. P(A) вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на соответств. условн. вер. события А. Доказ-во: Т.к. гипотезы H₁,H₂,…,H_n образуют полную группу, то соб. А может появиться в комбинации с какой-л. из этих гипотез, т.е. A=H₁A+H₂A+…+H_nA. Т.к. гипотезы H₁,H₂,…,H_n несовместны, то и комбинации H₁A,H₂A,…,H_nA несовместны. Применяя теорему сложения, получаем P(A)= P(H₁A)+P(H₂A)+…+P(H_nA). Применяя к событию H_iA теорему умножения вероятностей, получаем P(A)= + +…+ .

Следствиеь теоремы умножения и формулы полной вер. явл. теорема гипотез или формула Байеса. Поставим след. задачу: имеется полная группа несовместн. гипотез H₁,H₂,…,H_n. Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны P(H₁), P(H₂),…, P(H_n). Произведен опыт, в рез-те кот. появилось некотор. событие А. Как следует изменить вероятности гипотез в связи с появлением этого события? Т.е. нужно найти условн. вер. P_A(H_i) для каждой гипотезы. Из теоремы умножения вероятностей: P(AH_i)=P(A) P_A(H_i)=P(H_i) , ; P_A(H_i)= , . Выражая P(A) с пом. формулы полн. вероятности, получаем P_A(H_i)= , . Данная формула назыв. формулой Байеса или теоремой гипотез.

11. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли

При решении вероятностн. задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в кот. одно и тоже испытание повторяется многократно. В рез-те каждого опыта может появиться или не появиться некотор. соб. А, причем нас интересует не рез-т каждого отдельного опыта, а общее число появлений соб. А в рез-те серии опытов. Модель рассматрив. ситуации выглядит след. образом: проводится n испытаний, в каждом из кот. соб. А может произойти или нет. Причем вероятность события в кажд. отдельн. испытании постоянна, т.е. не меняется от испытания к испытанию. Требуется определить вер. m появлений соб. А в n испытаниях. Подобн. задачи решаются довольно легко, если испытания явл. независимыми. Опред.: Неск-ко испытаний назыв. независим. относит-но соб. А, если вер. соб. А в кажд. из них не зависит от исходов др. испытаний. Напр, неск-ко последоват. бросаний монет представляют собой независим. опыты. Производится n независим. опытов, в кажд. из кот. может появиться или не появ. некотор. соб.А. Вер. появл. данного события в кажд. опыте постоянна и равна p, а вер. непоявления=q. Требуется найти вер. P_n(m) того, что соб. А в этих n опытах появится m раз. Рассмотрим событие B_m, состоящ. в том, что соб. А появится в этих n опытах ровно m раз. Разложим соб. B_m на сумму произведен. событий, состоящих в появлении или непоявл. соб. А в определ. опыте. Каждый вар-т появл. соб. B_m должен состоять из m появлений соб. А или n-m непоявл. соб. А. B_m=А₁А₂…А_m … . Каждое произведен. соб. А должно происходить m раз, а n-m раз. Число всех комбинаций такого рода равно , т.е. равно числу способов, какими можно из n опытов выбрать m, в кот. произошло соб. А. Вер. каждой такой комбинации по теор. умножен. для независ. событий равна . Т.к. комбинации между собой несовместны, то по теор. сложения вер. соб. B_m равна . Т.о., если производится n независим. опытов, в кажд. из кот. соб. А появляется с вер. p, то вер. того, что соб. А появится ровно m раз, выражается формулой