- •Предмет теории вероятности. Основные задачи.
- •Понятие события, классификация
- •Классическое определение вероятности
- •Статистическое определение вероятности
- •Элементы комбинаторного анализа
- •Действия над событиями.
- •Теорема сложения вероятностей несовместных событий
- •Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Независимые события.
- •Теорема сложения вер-тей совместных событий
- •Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •Повторные независимые испытания. Формула Бернулли
- •Приближенные вычисления вероятностей в схеме испытаний Бернулли
- •Случайные величины. Закон распределение дискретной случайной величины
- •Математические операции над дсв
- •Математическое ожидание дсв
- •Математическое ожидание числа появлений события в нез. Исп.
- •Дисперсия дсв
- •Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях
- •Основные законы распределения дсв
- •Распределение Пуассона
- •Гипергеометрическое распределение
- •Функция распределения вероятностей случайной величины
- •График функции распределения дсв
- •Непрерывные случайные величины. График.
- •Теорема о вер-ти отдельно взятого значения нсв
- •Вероятность попадания нсв в заданный интервал
- •Плотность вероятности нсв
- •Нахождение функций по плотности распределения
- •Числовые характеристики случайных величин
- •Равномерный закон распределения нсв
- •Показательный закон распределения нсв
- •Нормальный закон распределения нсв
- •Нормальная кривая. Влияние параметров на ее форму.
- •Свойства случайной величины, распределенной по нормальному закону.
- •Закон больших чисел
- •Основные задачи математической статики
- •Сплошное и выборочное наблюдения. Генеральная и выборочная совокупности. Типы выборок. Репрезентативность.
- •Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма.
- •Оценка параметров генеральной совокупности. Свойства оценок.
- •Основные методы нахождения оценок.
- •Точечные оценки параметров генеральной совокупности по собственно-случайной выборке.
- •Интервальное оценивание. Предельная ошибка выборки.
Действия над событиями.
Д иаграмма Вьенна-Эйлера
А) событие A
Б) Сложение – событие, кот состоит в том, что происходит хотя бы одно из событий A или B
В) произведение событий- А и B одновременно
Г) Дополнение – событие принадлежит к А, но не принадлежит к B
Д) противоположное событию A событие В
Е) Несовместимые события – если они не могут произойти одноременно
Ж) События образуют полную группу, если хотя бы одно из них обязательно происходит в результате испытания
З) А влечет за собой В
Теорема сложения вероятностей несовместных событий
Пусть события А и В несовместны, причем вероятности этих событий известны. Теорема: Вероятн. появления одного из 2-ух несовместн. событий(безразлично какого) равна сумме вероятностей этих событий, т.е. P(A+B) = P(A)+P(B). Доказ-во: Пусть n – возможн. элементарн. исходов испытания. m1 – число исходов благоприятствующ. событию А; m2 – число исходов благоприятств. событию В. Тогда P(A)=m1/n; P(B)=m2/n. Т.к события А и В несовместны, то нет таких исходов, кот. благоприятствовали бы одновремен. и событию А, и соб. В. Поэтому событию А+В благоприятствует m1+m2 элементарн. исходов испытания. Тогда P(A+B)=(m1+m2)/n=m1/n+m2/n=P(A)+P(B). Следствие: Вероятн. появления одного из нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е. P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An) или P( i)=
Теорема: Сумма вероятностей событий А1, А2…Аn, образующих полную группу равна 1, т.е. P(A1)+P(A2)+…+P(An)=1. Доказат-во: Т.к. появление одного из событий полной группы достоверно, а вероятн. достоверн. события равна 1, то P(A1+A2+…+An)=1. Любые 2 события полной группы несовместны, поэтому можно применить теорему сложения: P(A1+A2+…+An)= P(A1)+P(A2)+…+P(An)
Теорема:Сумма вероятн. противоположн. событий равна 1, т.е. P(A)+P(Ā)=1. Доказат-во: Противоположн. события образуют полную группу, а сумма вероятностей событий, образующих полную группу равна 1. Замечание: Если вероятн. одного из противоположн. событий обозначить за p, а вероятн. другого через q, то предыдущ. формулу можно записать в виде: p+q=1.
Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Независимые события.
Событие А называется независимым от события В, если вероятн. события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависим. от события В, если вероятн. соб. А меняется в зависим. от того, произошло соб. В или нет. Определ.: Вер. Соб. А, вычисленная при условии, что имело место др. соб. В, называется условной вероятностью события и обозначается PВ(A) или P(A\B). Условие независимости соб. А от соб. В можно записать в виде PВ(A)=P(A). Условие зависимости соб.: PB(A)≠P(A). Теорема: Вероятн. произведения 2-ух событий равна произв. вероятн. одного из них на условн. вероятн. другого, вычисленную при условии, что 1-ая имела место, т.е. P(AB)=P(A) PA(B). Доказат-во: Пусть возможн. исходы опыта сводятся к n случаям. Предположим, что событию А благоприятств. m случаев, а соб. В – k случаев. Т.к. мы не предполагали соб. А и В несовместными, то существуют случаи благоприятн. и соб. А, и соб. В одновременно. Пусть число таких случаев , тогда вероятн. соб. АВ будет равна /n, а P(A)=m/n. Вычислим условн. вероятн. соб. В в предположении, что соб. А имело место. Если известно, что соб. А произошло, то из ранее возможных n случаев остаются возможными только те m случаев, кот. благоприятствовали соб. А, а из них только случаев благоприятствуют соб. В, поэтому PA(B)= /m. Подставляя в выражения вероятн. события АВ, вер. событ. А и условн. вероятн. соб. В, получаем тождество.
Замечание: При применении теоремы безразлично, какое из соб. А и В считать 1-ым, а какое 2-ым, т.е. P(AB)= P(A) PA(B)= P(B) PB(A)