![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Предмет теории вероятности. Основные задачи.
- •Понятие события, классификация
- •Классическое определение вероятности
- •Статистическое определение вероятности
- •Элементы комбинаторного анализа
- •Действия над событиями.
- •Теорема сложения вероятностей несовместных событий
- •Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Независимые события.
- •Теорема сложения вер-тей совместных событий
- •Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •Повторные независимые испытания. Формула Бернулли
- •Приближенные вычисления вероятностей в схеме испытаний Бернулли
- •Случайные величины. Закон распределение дискретной случайной величины
- •Математические операции над дсв
- •Математическое ожидание дсв
- •Математическое ожидание числа появлений события в нез. Исп.
- •Дисперсия дсв
- •Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях
- •Основные законы распределения дсв
- •Распределение Пуассона
- •Гипергеометрическое распределение
- •Функция распределения вероятностей случайной величины
- •График функции распределения дсв
- •Непрерывные случайные величины. График.
- •Теорема о вер-ти отдельно взятого значения нсв
- •Вероятность попадания нсв в заданный интервал
- •Плотность вероятности нсв
- •Нахождение функций по плотности распределения
- •Числовые характеристики случайных величин
- •Равномерный закон распределения нсв
- •Показательный закон распределения нсв
- •Нормальный закон распределения нсв
- •Нормальная кривая. Влияние параметров на ее форму.
- •Свойства случайной величины, распределенной по нормальному закону.
- •Закон больших чисел
- •Основные задачи математической статики
- •Сплошное и выборочное наблюдения. Генеральная и выборочная совокупности. Типы выборок. Репрезентативность.
- •Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма.
- •Оценка параметров генеральной совокупности. Свойства оценок.
- •Основные методы нахождения оценок.
- •Точечные оценки параметров генеральной совокупности по собственно-случайной выборке.
- •Интервальное оценивание. Предельная ошибка выборки.
Свойства случайной величины, распределенной по нормальному закону.
1.P(x1
≤
Xn
≤
x2)=Φ(
)-Φ(
)
Док – во:
P(x1
≤
X
≤
x2)=F(x2)-F(x1)=
+Φ(
)-
-
Φ(
)=
Φ(
)-Φ(
)
2.Вероятность того, что отклонение СВ, распределенной по нормальному закону от ее мат. Ожидания не превышает некоторую величину дельта (∆).
P(
=2Φ(
)
Док – во:
P(
=P(a-∆
X
a+∆)=
Φ(
)-
Φ(
)=Φ(
)+
Φ(
)=
2Φ(
)
3.Правило «Трех сигм»:если СВ имеет нормальное распределение с параметрами а и σ2, то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале (а-3σ;а+3σ)
Док – во:
Воспользуемся свойством 2, ∆=σ тогда
P(
=2Φ(1)=
0,6827
∆=2σ
P(
=2Φ(2)=0,9545
∆=3σ
P(
=2Φ(3)=0,9973
P(
=1-0,9973=0,0027
Закон больших чисел
Практика изучения случайных явлений показывает, что хотя результаты отдельных наблюдений, даже проведенных в одинаковых условиях, могут сильно отличаться, в то же время средние результаты для достаточно большого числа наблюдений устойчивы и слабо зависят от результатов отдельных наблюдений.
Теоретическим обоснованием этого замечательного свойства случайных явлений является закон больших чисел. Названием "закон больших чисел" объединена группа теорем, устанавливающих устойчивость средних результатов большого количества случайных явлений и объясняющих причину этой устойчивости.
Простейшая форма закона больших чисел, и исторически первая теорема этого раздела - теорема Бернулли, утверждающая, что если вероятность события одинакова во всех испытаниях, то с увеличением числа испытаний частота события стремится к вероятности события и перестает быть случайной.
Теорема Пуассона утверждает, что частота события в серии независимых испытаний стремится к среднему арифметическому его вероятностей и перестает быть случайной.
Предельные теоремы теории вероятностей, теоремы Муавра-Лапласа объясняют природу устойчивости частоты появлений события. Природа эта состоит в том, что предельным распределением числа появлений события при неограниченном возрастании числа испытаний (если вероятность события во всех испытаниях одинакова) является нормальное распределение.
Центральная предельная теорема объясняет широкое распространение нормального закона распределения. Теорема утверждает, что всегда, когда случайная величина образуется в результате сложения большого числа независимых случайных величин с конечными дисперсиями, закон распределения этой случайной величины оказывается практически нормальным законом.
Теорема, приведенная ниже под названием "Закон больших чисел" утверждает, что при определенных, достаточно общих, условиях, с увеличением числа случайных величин их среднее арифметическое стремится к среднему арифметическому математических ожиданий и перестает быть случайным.
Теорема Ляпунова объясняет широкое распространение нормального закона распределения и поясняет механизм его образования. Теорема позволяет утверждать, что всегда, когда случайная величина образуется в результате сложения большого числа независимых случайных величин, дисперсии которых малы по сравнению с дисперсией суммы, закон распределения этой случайной величины оказывается практически нормальным законом. А поскольку случайные величины всегда порождаются бесконечным количеством причин и чаще всего ни одна из них не имеет дисперсии, сравнимой с дисперсией самой случайной величины, то большинство встречающихся в практике случайных величин подчинено нормальному закону распределения.
В
основе качественных и количественных
утверждений закона больших чисел лежит
неравенство Чебышева.
Оно определяет верхнюю границу вероятности
того, что отклонение значения случайной
величины от ее математического ожидания
больше некоторого заданного числа.
Замечательно, что неравенство Чебышева
дает оценку вероятности события
для
случайной величины, распределение
которой неизвестно, известны лишь ее
математическое ожидание и дисперсия.
Неравенство
Чебышева. Если случайная величина
имеет дисперсию, то для любого
> 0 справедливо неравенство
,
где M
и D
- математическое ожидание и дисперсия
случайной величины
.
Теорема
Бернулли. Пусть
n - число успехов в
n испытаниях Бернулли и
p - вероятность успеха в
отдельном испытании. Тогда при любом
> 0 справедливо
.
Центральная
предельная теорема. Если случайные
величины
1,
2, …,
n,
… попарно независимы, одинаково
распределены и имеют конечную дисперсию,
то при n
равномерно
по x
(-
,
)
.
Закон
больших чисел. Если случайные величины
1,
2,
…,
n, … попарно независимы
и
,то
для любого
> 0
.
Теорема
Ляпунова. Пусть
1,
2, …,
n,
…- неограниченная последовательность
независимых случайных величин с
математическими ожиданиями m1,
m2,
…, mn, … и
дисперсиями
12,
22,
…,
n2…
. Обозначим
,
,
,
.
Тогда
= Ф()
- Ф()
для любых действительных
чисел
и ,
где Ф(x)
- функция распределения нормального
закона.