Комбинированные задачи векторного анализа
Указание: при решении задач этого параграфа не предлагается использование метода оператора набла.
Задачи
5.1 Вычислить div grad f для следующих скалярных полей f:
5.1.1
,
-
постоянный вектор;
Указание.
Для решения поставленной задачи вычислим
вначале градиент
.
Следовательно:
;
Аналогично: 
;
и 
Подставляя найденные выражения в (2.2), получим:
Вычислим теперь
.
Частные производные:
;
Ответ:
.
5.1.2
,
-
постоянный вектор;
5.1.3
,
-
постоянный вектор;
5.1.4
,
-
постоянный вектор;
5.1.5
,
-
постоянный вектор;
5.1.6
;
5.1.7
;
5.1.8
;
5.1.9
;
5.1.10
;
5.1.11
.
5.2 Вычислить rot rot для векторных полей :
5.2.1
;
5.2.2
;
5.2.3
;
5.2.4
.
5.3 Вычислить rot grad f для следующих скалярных полей f :
5.3.1 ;
5.3.2 ;
5.3.3 .
5.4 Вычислить div rot для векторных полей :
5.4.1
,
-
постоянный вектор;
5.4.2 .
5.5 Упростить выражение с предварительным использованием методов векторной алгебры и вычислить:
5.5.1
;
5.5.2
;
5.5.3
;
5.5.4
;
5.5.5
;
5.5.6
;
5.5.7
;
5.5.8
.
Задачи на использование метода оператора набла
Векторный
дифференциальный оператор «набла»
имеет компоненты
и его можно
представить в виде:
.
Алгебраические преобразования выражений,
содержащих оператор «набла», проводятся
по обычным правилам векторной алгебры,
надо только учитывать, что «набла» - это
дифференциальный оператор и по определению
он должен стоять слева от функции,
которую нужно продифференцировать. Так
— это дивергенция поля
,
а
— скалярный дифференциальный оператор:
.
Понятно, что
;
;
.
Оператор Лапласа
- скалярный дифференциальный оператор
второго порядка:
.
С учетом свойств
оператора «набла» легко убедиться, что
для любых полей справедливо:
,
,
.
Надо иметь в виду, что последний член –
это вектор с компонентами
.
Преобразование выражений векторного анализа методом оператора набла проводится по следующей схеме:
Вместо операций grad, div, rot и
вводим операции с использованием
оператора набла:
Анализируем, на какие функции оператор набла действует как дифференциальный оператор. По определению эти функции должны располагаться в выражении справа от оператора набла. Если таких функций две и они перемножаются, представим оператор набла в виде суммы двух операторов, каждый из которых действует на “свою” функцию. Например:
Преобразуем полученные выражения, пользуюсь методами векторной алгебры. При этом не обращаем внимания на дифференциальный характер оператора набла и считаем его обычным вектором. В рассматриваемом примере:
Используя стандартные правила векторной алгебры, преобразуем полученные выражения с тем расчетом, чтобы операторы набла стояли слева от тех функций, на которые они действуют, и справа от тех, на которые они не действуют. Так:
=
=
Поскольку операторы набла оказываются в позициях, где они автоматически правильно действуют как дифференциальные операторы, убираем пометки у операторов набла и вводим при необходимости обозначения grad, div, rot и . В рассматриваемом примере окончательно получаем:
где
Задачи
6.1 Записать следующие выражения, используя вместо оператора набла операции grad, div, rot и :
6.1.1
;
Ответ:
.
6.1.2
;
Ответ:
.
6.1.3
;
Ответ:
.
6.1.4
;
Ответ:
.
6.1.5
;
6.1.6
;
6.1.7
;
6.1.8
;
6.1.9
;
6.1.10
;
6.1.11
;
6.1.12
;
6.1.13
;
6.1.14
;
6.1.15
.
6.2 Преобразовать
выражение методом оператора набла
и затем расписать в частных производных:
6.2.1
;
Указание.
В соответствии с перечисленными правилами
работы с дифференциальным векторным
оператором
необходимо выполнить следующие
преобразования:
=
.
Ответ:
6.2.2
;
Указание. Рассмотрим вначале выражения для двух других величин:
;
( 1)
;
( 2)
Приступим теперь к получению выражения для .
.
С учетом полученных равенств ( 1) и ( 2) мы можем провести дальнейшие преобразования:
.
Ответ:
.
6.2.3
;
6.2.4
;
6.2.5
;
6.2.6
;
6.2.7
;
6.2.8
,
где
- постоянный вектор;
6.2.9
,
где
- постоянный вектор;
6.3 Расписать в частных производных:
6.3.1
6.3.2
;
;
;
6.3.3
;
6.3.4
;
6.3.5
;
6.3.6 ;
6.3.7
.
6.4 Найти напряженность
электрического поля
,
если задан потенциал
:
6.4.1
;
6.4.2
.
6.5 Найти плотность
электрических зарядов в вакууме
,
если задана напряженность электрического
поля
:
6.5.1
;
6.5.2
.