![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Часть I
- •1. Цели и задачи курса “Основы векторного и тензорного анализа” (овта), и его место в учебном процессе.
- •Элементы векторной алгебры
- •Градиент скалярного поля
- •Дивергенция векторного поля и теорема Остроградского-Гаусса
- •Ротор векторного поля и теорема Стокса
- •Комбинированные задачи векторного анализа
- •Задачи на использование метода оператора набла
- •Перечень рекомендованной литературы
Ротор векторного поля и теорема Стокса
Циркуляция AL
векторного поля
по замкнутому контуру L
— скалярная величина, равная сумме
скалярных произведений векторов участков
,
на которые
разбит конур L,
и векторов
в средних точках этих участков:
.
При
сумма
переходит в интеграл по контуру L:
. (4.1)
Циркуляция меняет
знак при изменении направления обхода
контура. Циркуляцию по контуру L
можно представить в виде суммы циркуляций
по границам Lk
малых площадок
,
на которые разбита поверхность S,
натянутая на контур L,
причем направление векторов
согласуется правилом правого винта с
направлением обхода контуров L
и Lk,
для которых вычисляются циркуляции:
.
Чтобы записанная сумма была интегральной,
необходимо, чтобы суммируемые величины
были пропорциональны
.
Это возможно, если существует векторное
поле, называемое ротором.
поля
такое, что
.
При
циркуляция записывается в виде интеграла
по поверхности S:
.
Таким образом, циркуляция может быть
записана как в виде интеграла по контуру,
так и в виде потока ротора векторного
поля через поверхность, натянутую на
контур. Этот результат называется
теоремой
Стокса:
. (4.2)
Положительное направление нормали для поверхности должно быть связано с направлением обхода контура по правилу правого винта.
Ротор векторного поля выражается через частные производные компонент поля соотношением:
. (4.3)
Определитель, стоящий в правой части, надо формально разложить по первой строке, что дает выражение для ротора в виде линейной комбинации единичных ортов:
. (4.4)
Формула Грина
выводится
из теоремы Стокса для случая двумерного
поля, заданного на плоскости (x,y):
и замкнутого контура L,
заданного на плоскости (x,y).
Тогда:
,
и
.
Тогда из теоремы Стокса следует формула
Грина:
. (4.6)
Задачи
4.1 Найти:
4.1.1
;
Указание. Из условия задачи следует, что задано векторное поле с компонентами:
Введем вектор
и вычислим его компоненты:
Ответ: Выражение для ротора имеет вид:
=
.
4.1.2
;
4.1.3
;
4.1.4
;
4.1.5
;
Указание. Из условия задачи следует, что задано векторное поле с компонентами:
Введем вектор и вычислим его компоненты:
Ответ:
Выражение
для ротора имеет вид:
,
где
— нулевой вектор.
4.1.6
;
4.1.7
;
4.1.8
;
4.1.9
,
где
— постоянный вектор;
4.1.10
,
где
и
— постоянные вектора;
4.1.11
,
где
и
— постоянные вектора;
4.1.12
;
4.1.13
;
4.1.14
;
4.1.15
;
4.1.15
;
4.1.16
;
4.1.17
;
4.1.18
;
4.1.19
;
4.1.20
;
4.1.21
4.2 Вычислить
,
,
,
,
,
где
,
и c
равны:
4.2.1
,
,
;
4.2.2
,
,
;
4.2.3
,
,
;
4.2.4
,
,
;
4.2.5
,
,
.
4.3 Вычислить
выражение, где
:
4.3.1
;
4.3.2
;
4.3.3
;
4.3.4
;
4.3.5
;
4.3.6 ;
4.3.7
.
4.4 Найти циркуляцию поля по окружности единичного радиуса с центром в начале координат, лежащей в плоскости (y,z).
4.5 Проверить
теорему Стокса для единичных квадратов
в плоскостях
,
,
и поля
:
4.5.1
;
Указание. Задание проверить теорему Стокса означает, что следует вычислить левую и правую части равенства, выражающего в математической форме эту теорему: .
Для этого выберем
один из предложенных вариантов: единичный
квадрат расположен в плоскости
,
а векторное поле задано
.
Интеграл по
замкнутому контуру представим в виде
4 интегралов по контурам
(координатная
линия,
определяемая равенствами x=0
и z=0).
(координатная
линия,
определяемая равенствами x=0
и y=1),
(координатная
линия,
определяемая равенствами x=0
и z
=1) и
(координатная
линия,
определяемая равенствами x=0
и y
=0). В этом
случае соответствующие элементы длины
вдоль контуров раны:
,
а
.
С учетом сделанных определений
=
Итак,
.
Приступим теперь
к вычислению правой части равенства
.
Для единичного
квадрата, расположенного в плоскости
,
.
Следовательно,
.
Ответ:
Поскольку
и
=
2 следует,
что теорема Стокса выполняется.
4.5.2
.
4.6 Проверить теорему Стокса для граней единичного куба и поля :
4.6.1
;
4.6.2
;
4.6.3
;
4.6.4
.
4.7 Проверить теорему
Стокса для окружности радиуса
с центром в точке
,
лежащей в плоскости
,
и поля
,
где
-
постоянный вектор.