![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Часть I
- •1. Цели и задачи курса “Основы векторного и тензорного анализа” (овта), и его место в учебном процессе.
- •Элементы векторной алгебры
- •Градиент скалярного поля
- •Дивергенция векторного поля и теорема Остроградского-Гаусса
- •Ротор векторного поля и теорема Стокса
- •Комбинированные задачи векторного анализа
- •Задачи на использование метода оператора набла
- •Перечень рекомендованной литературы
Дивергенция векторного поля и теорема Остроградского-Гаусса
Вектор площадки
направлен перпендикулярно площадке и
равен по модулю ее площади. Этот вектор
направлен по внешней нормали
,
если площадка является элементом
замкнутой поверхности, в противном
случае считается, что этот вектор связан
с направлением обхода площадки правилом
правого винта.
Поток
векторного поля
через площадку
в точке
равен
.
Поток
векторного поля
через
поверхность S
равен сумме
потоков этого поля через все площадки
,
на которые разбита поверхность S.
При
сумма превращается в интеграл по
поверхности S:
,
(3.1)
где
— средняя точка на площадке
.
В соответствии с определением (3.1) можно определить поток S векторного поля через замкнутую поверхность S:
.
(3.2)
Используя понятие
стягивающейся к точке
замкнутой поверхности S,
ограничивающий некий объем
,
можно ввести определения, независящие
от выбора системы координат, следующих
величин:
;
(3.3)
;
(3.4)
. (3.5)
Используя в ДСК
в качестве стягивающейся
к точке
замкнутой поверхности S
удобно выбрать поверхность параллелепипеда,
длина ребер которого
,
в соответствии с чем и
,
из данных выше определений легко получить
следующие выражения:
; (см. (2.2)
; (3.6)
=
(3.7)
С другой
стороны
поток S
векторного поля
через замкнутую
поверхность S
может быть записан как сумма потоков
через поверхности дифференциально
малых объемов
,
на которые можно разбить замкнутый
объем V,
ограниченный поверхностью S:
.
Чтобы последняя сумма была интегральной
(и для нее существовал предел при m),
необходимо, чтобы потоки
были пропорциональны соответствующим
объемам
.
Как следует из
определения (3.4), дивергенция векторного
поля
в точке
— это скаляр, равный:
,
где
- средняя точка в объеме
.
Отсюда следует, что в пределе при
сумма по m
становится интегралом по объему V:
.
Представляя этот поток в виде интеграла
по поверхности S,
ограничивающей объем V,
мы приходим к теореме
Остроградского-Гаусса:
. (3.8)
Уравнение
непрерывности
– дифференциальное уравнение в частных
производных, связывающее скорость
изменения плотности
жидкости в каждой точке объема и
дивергенцию произведения плотности и
скорости
жидкости в этой же точке:
.
Уравнение непрерывности выводится из
закона сохранения массы с использованием
теоремы Гаусса.
Закон сохранения
электрического заряда в дифференциальной
форме -
дифференциальное
уравнение в частных производных,
связывающее скорость изменения плотности
электрического заряда
в каждой точке и дивергенцию плотности
электрического тока
в этой же точке:
.
Выводится из закона сохранения заряда
с использованием теоремы Гаусса.
Уравнение теплопроводности – дифференциальное уравнение для температуры, которое выводится с использованием теоремы Гаусса из закона сохранения тепловой энергии в процессах теплопередачи. В однородной среде УТ имеет вид:
,
где a – коэффициент температуропроводности.
Задачи
3.1. Найти:
3.1.1
;
Указание. Из условия задачи следует, что задано векторное поле с компонентами:
Вычислим частные производные:
Выражение для дивергенции имеет вид:
.
Ответ:
.
3.1.2.
;
3.1.3.
;
3.1.4.
;
3.1.5.
;
Указание. Из условия задачи следует, что векторное поле задано радиус-вектором с компонентами x, y, z.
Частные производные:
Значение дивергенции
.
Ответ:
.
3.1.6.
;
Указание.
Из условия задачи следует, что векторное
поле задано вектором
с компонентами
x,
y.
Частные производные:
Значение дивергенции
.
Ответ:
.
3.1.7.
;
3.1.8.
;
3.1.9.
;
3.1.10.
;
3.1.11.
,
где
— постоянный вектор;
Указание.
Векторное поле задано вектором
с компонентами:
Частные производные :
Значение дивергенции
.
Ответ:
.
3.1.12.
,
где
и
-
постоянные вектора;
Указание.
По условию задачи векторное поле задано
вектором
.
Используя правило раскрытия двойного векторного произведения (1.20), получим:
.
Соответствующие компоненты этого вектора равны:
Частные производные:
Значение дивергенции
.
Ответ:
.
3.1.13.
,
где
и
— постоянные вектора;
3.1.14.
;
3.1.15.
;
3.1.16.
,
где
— постоянный вектор;
3.1.17.
,
где
— постоянный вектор;
3.1.18.
,
где
и
— постоянные вектора;
3.1.19.
3.1.20.
3.1.21.
3.1.22.
,
3.1.23.
,
где
— постоянный вектор
3.2. Найти поток
поля
через
поверхность
,
где поверхность
имеет вид:
3.2.1.
— единичный квадрат, расположенный в
плоскости
(стороны
квадрата параллельны осям
и
),
положительная нормаль
.
Указание.
Вектор дифференциально малой площадки
по условию задачи
.
В соответствии с этим выражение для
потока поля
через
поверхность
принимает вид:
Ответ:
.
3.2.2.
—
окружность радиуса
с центром в начале координат, расположенная
в плоскости
,
положительная нормаль
.
3.2.3. Найти
поток поля
через поверхность сферы радиуса R
с центром в начале координат.
Указание. Для
нахождения потока поля
через
поверхность сферы радиуса R
воспользуемся
теоремой
Остроградского-Гаусса
(3.8):
.
Для этого найдем вначале выражение для
:
=
.
Затем вычислим
интеграл по объему сферы:
.
Ответ:
.
3.3. Проверить теорему Остроградского-Гаусса для единичного кубика, ребра которого параллельны осям x, y, z, и поля , где :
3.3.1. (x-y; z+y-x; 2z);
3.3.2. (2x-z; y+z-x; 2x+y-z).
Указание. Задание проверить теорему Остроградского-Гаусса означает, что необходимо вычислить левую и правую части равенства
,
являющегося математическим выражением теоремы, и сравнить полученные выражения на предмет их равенства.
Вычислим вначале интеграл по объему:
=
Затем
.
Интеграл по
замкнутой поверхности единичного кубика
представим в виде суммы 6 интегралов по
его граням. Для этого обозначим грани
следующим образом:
и
— грани лежащие в координатных
плоскостях
x=1
и x
=0,
и
— грани лежащие в координатных
плоскостях
y=1
и y=0,
и
— грани лежащие в координатных
плоскостях z=1
и z=0.
В этом случае
вектора дифференциально малых площадок
соответственно равны:
;
и
.
Вследствие этого:
=
=
=4.
Ответ:
Поскольку
4
и
,
следует, что теорема Остроградского-Гаусса
выполняется.
3.4. Проверить
теорему Остроградского-Гаусса для
единичного кубика, ребра которого
параллельны осям x,
y,
z,
и поля
,
где
:
3.4.1.
;
3.4.2.
;
3.4.3.
;
3.4.4.
.
3.5. Проверить
теорему Остроградского- Гаусса для
сферы радиуса
с центром в начале координат и поля
,
где
:
3.5.1.
;
3.5.2.
;
3.5.3.
;
3.5.4.
;
3.5.5.
.
3.6. Проверить теорему Остроградского- Гаусса для цилиндра с радиусом R и высотой h (ось цилиндра совпадает с осью Oz, нижнее основание лежит в плоскости xOy), и поля :
3.6.1.
;
3.6.2.
;
3.6.3.
;
3.6.4.
;
3.6.5.
3.7. Проверить теорему Остроградского- Гаусса для цилиндра с радиусом R и высотой h (ось цилиндра совпадает с осью Oz, нижнее основание лежит в плоскости xOy), и поля :
3.7.1.
;
3.7.2.
;
3.7.3.
;
3.7.4.
;
3.7.5.
.
3.8. Проверить теорему Остроградского-Гаусса для сферы радиуса R с центром в начале координат и поля :
3.8.1.
;
3.8.2.
.
3.9. Проверить теорему Остроградского-Гаусса для цилиндра с радиусом R и высотой h (ось цилиндра совпадает с осью Oz, нижнее основание лежит в плоскости xOy), и поля :
3.9.1.
;
3.9.2.
.
3.10 Проверить теорему Остроградского-Гаусса для цилиндра с радиусом R и высотой h (ось цилиндра совпадает с осью Oz, нижнее основание лежит в плоскости xOy), и поля :
3.10.1.
;
3.10.2.
.