- •Часть I
- •1. Цели и задачи курса “Основы векторного и тензорного анализа” (овта), и его место в учебном процессе.
- •Элементы векторной алгебры
- •Градиент скалярного поля
- •Дивергенция векторного поля и теорема Остроградского-Гаусса
- •Ротор векторного поля и теорема Стокса
- •Комбинированные задачи векторного анализа
- •Задачи на использование метода оператора набла
- •Перечень рекомендованной литературы
Градиент скалярного поля
Если в каждой точке пространства задан скаляр – это скалярное поле. Если в каждой точке пространства задан вектор – это векторное поле.
Если скалярное поле задается в ДСК, то это означает, что скалярная функция трех переменных . При рассмотрении локального поведения часто используется порождаемое им векторное поле , называемое градиентом скалярного поля.
Одно из альтернативных определений этой величины использует понятие производной по направлению, заданному единичным вектором .
Градиентом скалярного поля в точке называется вектор
, (2.1)
величина которого определяется производной по направлению единичного вектора нормали к поверхности уровня , проходящей через точку , в сторону возрастания значений .
Напомним, что нормалью к поверхности S в точке P называется прямая, проходящая через точку P и перпендикулярная к касательной плоскости к S в этой точке.
Компоненты этого вектора в ДСК можно получить, используя приводимое ранее выражение .
Следовательно, в ДСК выражение для градиента скалярного поля имеет вид:
(2.2)
Полный дифференциал от определяется как приращение значения этой величины при изменении радиус-вектора на бесконечно малое приращение
(2.3)
Следовательно,
, (2.4)
где – угол между векторами градиент и . Следовательно, направление вектора – это направление скорейшего роста скалярного поля в данной точке, а модуль градиента – это скорость роста поля в этом направлении.
Экстремальные точки скалярного поля – это точки, при смещении из которых с точностью до членов, линейных по смещению, поле остается неизменным. Из этого определения вытекает, что частные производные в этих точках равны нулю, а возникающую из этого условия систему трех уравнений можно использовать для нахождения экстремальных точек . По этой же причине в этих точках .
Указания по решению задач
2.1. Для заданных ниже функций найти градиент, точки экстремума, направление наискорейшего роста в заданной точке (x0, y0, z0), а также уравнение плоскости, касательной к поверхности постоянного значения функции в этой точке:
2.1.1. ;
2.1.2. ;
2.1.3. ;
2.1.4. ;
2.1.5. .
Указание. Пусть = (2.1.3). Для нахождения компонент вектора градиента и точек экстремума вычислим:
Запишем систему уравнений, определяющих точки экстремума:
Решение полученной системы определяет точку экстремума с координатами
Выражение для векторного поля градиента имеет вид:
,
а в точке :
.
Для нахождения уравнение плоскости, касательной к поверхности постоянного значения в точке воспользуемся определяющим ее выражением (1.22), в котором компоненты вектора заменим на соответствующие значения компонент вектора :
.
2.2. Найти компоненты вектора градиент:
2.2.1. , где .
Указание. В данной задаче = .
Следовательно:
Аналогично:
и
Подставляя найденные выражения в (2.2), получим:
Ответ: .
2.2.2. , где ;
Указание. Решение данной задачи аналогично решению предыдущей. Следует лишь учесть, что в соответствии с определением, данным при постановке задачи, вектор .
Итак: = .
Следовательно:
Аналогично:
а
Подставляя найденные выражения в (2.2), получим:
Ответ: .
2.2.3. ;
2.2.4. ;
2.2.5. , где — постоянный вектор, ;
2.2.6. , где — постоянный вектор, ;
2.2.7. ;
Указание. В данной задаче = .
Следовательно:
Аналогично:
и
Подставляя найденные выражения в (2.2), получим:
Ответ: .
2.2.8. ;
2.2.9. , где — постоянный вектор;
2.2.10. ;
2.2.11. ;
Указание. В данной задаче = .
Следовательно:
Аналогично:
и
Подставляя найденные выражения в (2.2), получим:
Ответ: .
2.2.12. , где — постоянный вектор.
Указание. В данной задаче = = .
Следовательно:
Аналогично:
и
Подставляя найденные выражения в (2.2), получим:
Ответ: .
2.2.13. , где и — постоянные векторы;
Указание. В данной задаче
= = .
,
где компонента векторного произведения на ось x.
Примечание: Полученный результат можно получить быстрее, переписав, используя свойство векторного произведения по отношению к циклической перестановке векторов, выражение для в виде:
= = =
Следовательно:
Подставляя найденные выражения в (2.2), получим:
Ответ: .
2.2.14. ;
2.2.15. ;
2.2.16. ;
2.2.17. ;
2.2.18. ;
2.2.19. ;
2.2.20. ;
2.2.21.
2.2.22.
2.2.23.
2.3.1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(3, 2, 1) в направлении наискорейшего роста функции , r=| |
Указание. Уравнение прямой, проходящей через точку и параллельной вектору , определяется выражением (1.23a). Направление наискорейшего роста функции в точке определяется вектором градиента этой функции в этой точке.
В соответствии с этими замечаниями найдем вначале векторное поле градиента предложенной функции.
В данной задаче = .
.
Следовательно:
Аналогично:
и
Подставляя найденные выражения в (2.2), получим:
.
Для определения значения вектора градиента в точке А(3, 2, 1) введем радиус-вектор , вычислим его длину и подставим в полученное выражение для градиента:
Сократив записанное уравнение на неравный нулю множитель, получим искомое уравнение прямой.
Ответ: .
2.3.2. Написать уравнение плоскости, касательной к поверхности постоянного значения функции (x2+y2-3z) в точке А(-1, 2, -1).
2.3.3. Найти угол между направлениями наискорейшего роста функций (x2+2y2-z2) и r=| | в точке А(-1, 1, 1).
2.3.4. Найти силу, действующую на частицу в точке А(-1, -2, -1), если потенциальная энергия равна (2x+y2-z).
Указание. По определению, если задана потенциальная энергия , сила , действующую на частицу в точке , определяется выражением .
2.3.5. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку А(1, 1, 2), которая является плоскостью, касательной к поверхности постоянного значения функции в этой точке. — радиус-вектор, — постоянный вектор с координатами (1, 2, 0).