5. Форма и содержание отчета

Отчет является основным документом, в котором излагаются исчерпывающие сведения о выполненной работе.

Общими требованиями к отчету являются: четкость построения; логическая последовательность изложения материала убедительность аргументации; краткость и точность формулировок, исключающие возмож­ность субъективного и неоднозначного толкования; конкретность изложения результатов работы; доказательность выводов и обоснованность рекомендаций.

Отчет должен включать в указанной ниже последовательности: титульный лист список исполнителей; реферат; содержание оглавление); перечень сокращений, символов и специальных терминов с их определениями; основную часть; список литературы, в том числе перечень использованных материалов; приложения.

Основная часть отчета должна включать в себя:

1. Эскизы исследуемых объектов с указание числа элементов разложения, величины тепловых сопротивлений и тепловых потоков.

2. Таблицы и графики зависимости вычислительных затрат от размерности системы уравнений (числа элементов разложения).

3. Эскизы элементов конструкции радиатора с указанием температуры перегрева процессора.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2

Построение математической модели по результатам

эксперимента

Цель работы

Целью работы является изучение методики построения математической модели по результатам натурного исследования.

2. Основные понятия

На практике в производственных или лабораторных усло­виях встречаются процессы, характер протекания которых детер­минированным образом зависит от определенных величин

Переменные х_1,.х_2,…..,.х_п обычно называют входными контролируемыми или независимыми перемен­ными, и их возможные значения принадлежат некоторой об­ласти n-мерного пространства. Выходная переменная y в дальнейшем будет называться зависимой переменной, целевой величиной или выходом процесса, даже если она не обозначает буквально выход продукта. В общем случае можно сказать, что между независимыми переменными и выходом процесса y сущест­вует функциональная взаимосвязь

где

— вектор значений независимых переменных. Зависимость на практике часто бывает не известна, и тогда она находится путем обработки экспериментальных данных.

Так как всякий эксперимент связан с появлением случайных ошибок, то при построении математических моделей на основе экспериментальных данных необходимо использовать методы математической статистики.

Наиболее часто при решении этой задачи применяют метод наименьших квадратов. Метод наименьших квадратов позволяет построить оптимальную, в определенном смысле оценку моментов распределения ошибки эксперимента, а также решить вопрос о том, является ли полученная модель адекватной (т. е. соответ­ствует ли она действительности).

Пусть требуется на основе экспериментальных данных постро­ить модель некоторого процесса. При этом прежде всего необхо­димо составить себе какое-то представление о структуре этой модели. Из физических соображений можно, например, предпо­ложить, что взаимосвязь между у и х - линейна:

(2.1)

При этом а_i являются неизвестными параметрами процесса, оценки которых требуется найти путем обработки эксперимен­тальных данных. В случае если характер связи описывается нелинейной квадратичной функцией, имеем

Здесь число неизвестных параметров определяется:

Обычно коэффициенты нелинейной квадратичной модели нуме­руются не по порядку, а так, что коэффициент при функ­ции x_ix_j обозначается через а_ij

Модели полиномиального вида имеют большое значение в связи с тем, что с их помощью любая аналитическая функция может быть описана как угодно точно. Однако с увеличением степени полинома весьма существенно увеличивается число оце­ниваемых параметров модели и соответственно возрастают за­траты на эксперимент. Так, если степень полинома есть т, то число неизвестных параметров находится по формуле:

В дальнейшем будут использованы модели вида

Где a ― вектор параметров модели,

Примем, что модель (3.7) линейна относительно коэффициентов а_i, т.е.

(2.2)

При этом f_i (х) — известные функции, являющиеся компонен­тами вектора.

Используя векторные обозначения можно записать

В случае линейной или квадратичной модели выражения для компонент f (х) будут иметь вид:

и

Эксперимент проводится в многомерном пространстве при условии N>k+1 где N ― число точек эксперимента, k― число искомых параметров модели. Вектор переменных имеет вид

По результатам эксперимента вычисляется матрица F

(2.3)

и матрица C

(2.4)

Матрица C называется дисперсионной матрицей.

Значения параметров модели a_i находятся как решение системы линейных уравнений

(2.5)

где Y вектор результатов эксперимента

Оценка дисперсии ошибок наблюдений вычисляется с помощью остаточной суммы квадратов

с числом степеней свободы

по формуле

Коэффициент a_i- считается значимо отличающимся от нуля, если

где t_кр—критическое значение распределения Стьюдента для заданного уровня значимости  и  степеней свободы (если оценка s_i² имеет  степеней свободы); t_кр находится с помощью нижеприведенной таблицы из условия

	1-
	0,99	0,95	0,90	0,80	0,50	0,20
1	63,657	12,706	6,314	3,078	0,727	0,325
2	9,925	4,303	2.920	1,886	9,617	0,289
3	5,841	3,182	2,353	1,638	0,584	0,277
4	4,604	2,776	2,132	1,533	0,569	0,271
5	4,032	2,571	2,015	1,476	0,559	0,367
6	3,707	2,447	1,943	1,440	0,553	0,265
7	3,499	2,365	1,895	1,415	0,549	0,263
8	3,355	2,306	1,860	1,397	0,546	0,262
9	3,250	2,262	1,833	1,383	0,543	0,261
10	3,169	2,228	1,812	1,372	0,542	0,260
11	3,106	2,201	1,796	1,363	0,540	0,260
12	3,055	2,179	1,782	1,356	0,539	0,259
13	3,012	2,160	1,771	1,350	0,538	0,259
14	2,977	2,145	1,761	1,345	0,537	0,258
15	2,947	2,131	1,753	1,341	0,536	0,258
16	2,921	2,120	1,746	1,337	0,535	0,258
17	2,898	2,110	1,740	1,333	0,534	0,257
18	2,878	2,101	1,734	1,330	0,534	0,257
19	2,861	2,093	1,729	1,328	0,533	0,257
20	2,845	2,086	1,725	1,325	0,533	0,257
21	2,831	2,080	1,721	1,323	0,532	0,257
22	2,819	2,074	1,717	1,321	0,532	0,256
23	2,807	2,069	1,714	1,319	0,532	0,256
24	2,797	2,064	1,711	1,318	0,531	0,256
25	2,787	2,060	1,708	1,316	0,531	0,256
26	2,779	2,056	1,706	1.315	0,531	0,256
27	2,771	2,052	1,703	1,314	0,531	0,256
28	2,763	2,048	1,701	1,313	0,530	0,256
29	2,756	2,045	1,699	1,311	0,530	0,256
30	2,750	2,042	1,697	1,310	0,530	0,256
40	2,704	2,021	1,684	1,303	0,529	0,255
60	2,660	2,000	1,671	1,296	0,527	0,254
120	2,617	1,980	1,658	1,289	0,526	0,254
	2,576	1,960	1,645	1,282	0,524	0,253