2.1 Интерполяция многочленами с произвольно

расположенными узлами

Существуют два главных применения интерполяционных формул. Прежде всего, они применяются для целей замены графически заданной функции аналитической. Второе главное применение их — для интерполяции в других численных методах.

Интерполяционные многочлены

Многочлен степени n,

(1.1)

имеет n+1 коэффициент. Естественно полагать, что n+1 условие, наложенное на многочлен в общем виде, позволит однозначно определить коэффициенты. В частности, можно потребовать, чтобы многочлен проходил через n+1 точку (x_i,y_i) (i=1,2, …, n+1 ) с x_i,≠x_j . То, что многочлен проходит через точки (x_i,y_i) означает выполнение условий

(1.2)

Определитель для этих n+1 линейных уравнений относительно неизвестных а_к есть определитель Вандермонда, который не равен нулю, если x_i,≠x_j для i≠j

(1.3)

Возвращаясь к главной задаче о нахождении многочлена по n+1 точке (x_i, y_i) очевидно, что ее всегда можно решить и найти коэффициенты а_к по правилу Крамера или другим способом.

Все изложенное можно подытожить, сказав, что если есть n+1 узловая точка функции, то можно найти многочлен степени п, кото­рый совпадает (пренебрегая ошибками округления) с функцией в узло­вых точках. Предположив, что они близки, можно использовать многочлен вместо функции в дальнейших аналитических процессах: интегрировании, дифференцировании, отыска­нии нулей и т. д.

Интерполяция полиномами Лагранжа

Другой подход к задаче интерполяции — метод Лагранжа. Основ­ная идея этого метода состоит в том, чтобы прежде всего найти многочлен, который принимает значение 1 в одной узловой точке и 0 во всех других. Легко видеть, что функция

(1.4)

(где i ≠ j у знака произведения означает «исключая j значение») является требуемым многочленом степени п; он равен 1, если x=x_j и 0, когда x=x_i, i ≠ j.

Многочлен принимает значение y_i в i-й узловой точке и

равен нулю во всех других узлах. Из этого следует, что

(1.5)

есть многочлен степени п, проходящий через п + 1 точку

(x_i, y_i). Таким образом, можно сделать следующее важное замечание: если дана п + 1 узловая точка, то соответствующий многочлен степени п, про­ходящий через эти точки, однозначно (в пределах ошибок округле­ния) определен, независимо от того, как он строится и какие обо­значения использованы.

2.2 Интерполяция многочленами с равноотстоящими

узлами. Конечные разности

Очень часто имеющаяся информация о функции (в виде значений в узловых точках) задана на множестве равноотстоящих значений х. В этом случае большая часть формул, вычислений, как, впрочем, и затрагиваемых идей, заметно упрощается.

До сих пор не делалось никаких предположений о за­данных значениях аргумента, которые могли быть со­вершенно произвольными. Предположим дополнительно, что рассматриваемые значения аргумента являются рав­ноотстоящими, т. е. образуют арифметическую про­грессию.

Такое предположение обычно имеет место при интер­полировании функций, заданных в виде таблиц с по­стоянным шагом, где x₁ = x₀+h, x₂=x₀+2h, x_m= x₀+mh. Разность h арифметической прогрессии и на­зывается шагом таблицы. Построение интерполяцион­ных формул в этом случае значительно упрощается. Прежде чем перейти к рассмотрению этого вопроса, вводится понятие конечных разностей.

Пусть значения функции f(x) заданы в точках х₀, х₁ = х₀ + h, ..., х_п = х₀ + nh (узлы интерполяции).

Составляются разности значений функции

y₁ ─ y₀ =

y₂ ─ y₁= (1.6)

……………..

Y_n ─ y_n-1=

Эти значения называют первыми разностями функ­ции, или разностями первого порядка. По ним мо­жно составить разности второго порядка, или вторые разности и вообще разности любого порядка k, или k-e разности

Δ^ky_m= Δ^k-1y_m-1─ Δ^k-1y_m (1.7)

Эти последовательные разности обычно располагают в форме таблицы

xi	yi	Δ1ym	Δ2ym	Δ3ym	Δ4ym	Δ5ym
x0	y0	Δ1y0
х1	y1	Δ1y1	Δ2y0
x2	y2	Δ1y2	Δ2y1	Δ3y0
x3	y3	Δ1y3	Δ2y2	Δ3y1	Δ4y0
x4	y4	Δ1y4	Δ2y3	Δ3y2	Δ4y1	Δ5y0

Пусть значения функции y=f(x) заданы для равноотстоящих значений аргумента x₀, x₁=x₀ + h, x₂ = x₀+2h,…, x_n=x₀ + nh. Значения y обозначаются соответственно y₀ = f(x₀), y₁ = f(x₁), …, y_n=f(x_n). Существует единственный многочлен F(х) степени п, такой, что F(x_k)=y_k (k = 0, 1,…, п). Предлагается другой способ записи и отыскания этого многочлена, который, в конечном счете, совпадает с многочленом, полученным по формуле Лагранжа. Записывается искомый многочлен в виде

(1.8)

Для определения коэффициентов а₀,а₁,...,а_п пологаем х=x_о. Тогда Далее, полагая х=х₁, получаем

Так как (x₁ ̣─ x₀)=h то откуда

Продолжая вычисление коэффициентов, полагается х=х₂. Тогда

Заменяя найденные коэффициенты а₀, а₁ их значениями

Воспользовавшись формулой, выражающей разности через значения функции, получается

Точно так же определяется

Аналогичные дальнейшие вычисления позволяют записать общую формулу для отыскания коэффициентов

(1.9)

Подставив найденные выражения коэффициентов в формулу 1.8, находится

(1.10)

Полученную формулу и называют первой интерполяцион- ной формулой Ньютона.

Теперь ясно видно различие между формулами Ньютона и Лагранжа. В формуле Лагранжа (4.13) каждое из слагаемых представляет многочлен п-й степени и все эти слагаемые равноправны. Поэтому заранее нельзя (т. е. до производства вычислений) пренебрегать какими-либо из них. В формулу же Ньютона входят в качестве слагаемых многочлены повышающихся степеней, причем коэффициентами при них служат последовательные конечные разности, деленные на факториалы. Очевидно, последовательные разности обычно довольно быстро уменьшаются. Это положение дает возможность не учитывать в формуле Ньютона тех слагаемых, коэффициенты при которых становятся пренебрежимо малыми. Благодаря этому можно вычислять промежуточные значения функции достаточно точно, пользуясь простыми интерполяционными формулами.

Для практического пользования формулу Ньютона (2.16) обычно записывают в несколько преобразованном виде. Чтобы получить его, введится обозначение

или x=x₀ + th (1.11)

Множители, входящие в формулу (2.16), выразятся через t следующим образом

……………………………………………..

Подстановка этих выражений в формулу (1.10), приводит ее к виду

(1.12)

Это и есть окончательный вид первой интерполяционной формулы Ньютона. По причинам, которые будут указаны ниже, ее называют также интерполяционной формулой Ньютона для интерполирования вперед.

Первая интерполяционная формула Ньютона наиболее удобна для отыскания значений функ­ции, соответствующих большим, нежели начальные, зна­чениям аргумента, чем и объясняется приведенное выше ее другое название — интерполяционная формула для ин­терполирования вперед.

Для интерполирования в конце таблицы применяется иная формула. Искомый интерполяционный многочлен представляется в форме

(1.13)

Используя аналогичные вычисления(), общая формула для коэффициентов будет иметь вид

(1.14)

После подстановки в (1.13) полученных значений коэффициентов формула примет вид

(1.15)

Это и есть вторая интерполяционная формула Нью­тона. Для применения, однако, ее предварительно преобразуют, как и первую.

Используя замену или x = x_n + th

Произведя такую замену, интерполяционная формула окончательно примет вид

(1.16)

Формулу (7.16) называют второй интерполяционной формулой Ньютона или интерполяционной формулой Ньютона для интерполирования назад.

Применение интерполяционных формул для экстраполяции. Обратная интерполяция

Экстраполяция. Выше были приведены при­меры применения интерполяционных формул для отыска­ния значений функции, соответствующих промежуточным значениям аргумента, отсутствующим в таблице.

Эти же формулы могут быть использованы и для отыскания значений функции, соответствующих значе­ниям аргумента, находящимся вне пределов таблицы, т. е. для экстраполяции.

Применение интерполяционных формул для экстрапо­ляции ничем не отличается от рассмотренного в преды­дущих примерах. Единственным различием является то, что при интерполировании по первой формуле Ньютона значение t оказывается положительным, а при экстра­полировании— отрицательным. Для второй формулы Ньютона, наоборот, при интерполировании значение t отрицательно, а при экстраполяции — положительно.

Таким образом, первая интерполяционная формула Ньютона применяется для интерполирования вперед и экстраполирования назад, а вторая — для интерполиро­вания назад и экстраполирования вперед.

Следует отметить, что экстраполяция, вообще говоря, дает большие ошибки, нежели интерполяция, и пределы ее применения ограничены.

Обратная интерполяция. До сих пор были рассмотрены лишь задачи отыскания значений функции, соответствующих данным значениям аргумента, от­сутствующим в таблице. Между тем нередко приходится сталкиваться и с задачами иного характера: по таблице функции отыскать значение аргумента х, которому соот­ветствует данное значение функции, отсутствующее в таблице. Так поставленную задачу называют задачей обратной интерполяции.

Задачу обратной интерполяции можно легко обра­тить, считая значения функции, наоборот, значения­ми аргумента. Однако так как разности функции не постоянны, то обратная интерполяция приводит к необ­ходимости интерполировать в таблице, значения аргу­мента в которой не являются равноотстоящими. По этой причине для обратной интерполяции применяется обыч­но интерполяционная формула Лагранжа или интер­поляционная схема Эйткина.