![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава 10 теория функций комплексного переменного
- •§ 10.1 Комплексные числа. Топология расширенной комплексной плоскости.
- •§ 10.2 Аналитические и их физический смысл.
- •§ 10.3 Интегрирование аналитических функций
- •§ 10.4 Ряды с комплексными членами. Полюс. Вычеты
- •§ 10.5 Изменение аргумента функции вдоль кривой. Годографы.
- •§ 10.6 Преобразование Лапласа
- •§ 10.7 Z- преобразование и разностные уравнения
- •§ 10.8 Обобщенные функции и преобразование Лапласа
- •§12.1 Элементы теории графов
- •§12.1 Элементы теории графов
- •§12.2 Графы электрических цепей
- •Глава 15 случайные функции
- •Глава 16 вариационное исчисление
- •§ 16.1 Вариация функционала
- •§ 1.2 Задачи на безусловный экстремум
- •§ 16.3 Задачи на условный экстремум
- •В опросы ко второму блоку
- •Типовые задачи к экзамену
- •Литература
§12.1 Элементы теории графов
Опр
Графом
называется пара
,
состоящая из конечного множества
точек (вершины
(vertex)
графа)
и подмноже ства
упорядоченных пар вершин (дуги
графа)
или неупорядочен ных пар вершин (ребра
(edge)
графа).
◄ В соответствии с условием искомый закон удовлетворяет дифференциальному уравнению с начальным условием .
Решение однородного уравнения с этим условием имеет вид .
Для нахождения частного решения исходного уравнения с нулевыми начальными условиями используем обобщенное преобразование Лапласа. Учитывая , имеем
.
Тогда обратное преобразование дает частное решение
.
Поэтому искомое колебание материальной точки осуществляется по закону
.
Дифференцированием нетрудно убедиться, что в момент времени скорость материальной точки скачком изменяется на величину .►
§12.1 Элементы теории графов
Опр Графом называется пара , состоящая из конечного множества точек (вершины (vertex) графа) и подмноже ства упорядоченных пар вершин (дуги графа) или неупорядочен ных пар вершин (ребра (edge) графа).
ЗАМЕЧАНИЕ
Ребро, соединяющее вершины
,
будем обозначать
,
а дугу, соединяющую эти вершины,
.
Опр
Граф называется орграфом
(ориентированным
графом),
если
состоит только из дуг и неориентированным,
если
состоит только из ребер.
Пример
1
Изображенный на рисунке граф имеет
такие множества вершин и ребер:
.
Пример
2
Орграф
,
.
Опр Графом называется пара , состоящая из конечного множества точек (вершины (vertex) графа) и подмноже ства упорядоченных пар вершин (дуги графа) или неупорядочен ных пар вершин (ребра (edge) графа).
ЗАМЕЧАНИЕ Ребро, соединяющее вершины , будем обозначать , а дугу, соединяющую эти вершины, .
Опр Граф называется орграфом (ориентированным графом), если состоит только из дуг и неориентированным, если состоит только из ребер.
Пример 1 Изображенный на рисунке граф имеет такие множества вершин и ребер: .
Опр Ребро (дуга) с началом и концом в одной и той же вершине, называется петлёй.
Опр Два ребра с общим началом и общим концом или две дуги с
Опр Ребро (дуга) с началом и концом в одной и той же вершине, называется петлёй.
Опр Два ребра с общим началом и общим концом или две дуги с общим началом и общим концом называются кратными.
Опр Вершины с общим ребром (дугой), а так же рёбра (дуги), имеющие общую вершину, называются смежными.
Определение
Если
есть вершина ребра
,
то
и
называются инцидентными.
Определение
Матрицей
инцидентности
орграфа
называет ся матрица
размера
,
у которой
.
Пример
Построим
по орграфу
матрицу инцидентности
|
|
|
|
|
|
0 |
-1 |
1 |
-1 |
|
1 |
0 |
-1 |
1 |
|
-1 |
1 |
0 |
0 |
Рис12.4
Опр
Орграфы
называются изоморфными,
если существуют биекции
,
которые сохраняют ориентацию:
.
ЗАМЕЧАНИЕ
Если графы
изоморфны, то
и
.
Пример Следующие орграфы не изоморфны.
Рис.12.5
Опр
Последовательность
ребер графа
(дуг орграфа
)
называется маршрутом
длины
(путем
длины
).
Маршрут (путь) называется замкнутым,
если
.
Опр
Композицией
маршрутов
,
называется маршрут
.
Аналогично определяется композиция путей.
Опр
Маршрут
называется обратным
к маршруту
.
Опр Незамкнутый маршрут (путь), в котором все ребра (дуги) попарно различны, называется цепью. Цепь называется простой, если в ней все вершины попарно различны.
Определение Замкнутый маршрут (путь), в котором все ребра (дуги) попарно различны, называется циклом (контуром). Цикл (контур) называется простым, если все его вершины попарно различны.
Пример
В орграфе
Рис12.8
замкнутый
путь
содержит простой контур
.
ЗАМЕЧАНИЕ Во всяком замкнутом маршруте (замкнутом пути) можно выделить простой цикл (простой контур).
Опр
Подграфом
графа
называется граф
,
со свойством
.
Контрпример
В предыдущем орграфе пара
не является подграфом.
_____
Опре Граф называется связным, если любые две его вершины связаны маршрутом. Всякий максимальный связный подграф называется компонентой связности графа .
Обозначение
- число компонент связности графа
.
Опр
Цикломатическим
числом графа
называется величина
.
Опр
Число рёбер
инцидентных вершине
,
называется степенью
вершины.
Если
,
то
называется изолированной.
Если
,
то
называется висячей
(концевой)
ЗАМЕЧАНИЕ
1) Для связного
графа
(доказательство проводится индукцией
по числу вершин). 2)
.
Действительно, пусть
,
есть связные компоненты графа
.
Для каждой из них необходимо
.
3)
Изолированная вершина является
компонентой связности. 4)
Все вершины замкнутой цепи (с более чем
одной вершиной), не являются висячими,
то есть
.
Пример
Изображенный
на рисунке 12.1 граф несвязный, имеет две
компоненты связности и
.
Определение Деревом называется связный граф, не имеющий циклов.
ТЕОРЕМА 12.1 (свойства дерева) 1) Дерево необходимо имеет висячую вершину.
2) Следующие утверждения равносильны:
а)
- дерево; б)
- связный граф и
,
то есть
;
в) любые две вершины графа можно соединить единственной простой цепью.
3) Дерево не содержит циклов, но соединяя какие-либо его вершины ребром, получаем граф, в котором ровно один простой цикл и этот цикл содержит добавленное ребро.
Опр
Остовным
деревом
связного графа
называютлюбой подграф
,
содержащий все вершины
и являющийся деревом.
ЗАМЕЧАНИЕ
Так как у
остовного дерева связного графа
должно быть
ребер, то оно не должно содержать
ребер графа
.
АЛГОРИТМ построения остовного дерева.
Шаг 1. Выберем в любую вершину , и объявим её первым
подграфом
искомого остовного дерева
.
.
-
дерево.
.
Шаг
2. Если для
подграфа
,
то
есть искомое
остовное
дерево. Если
,
то переходим к шагу 3.
Шаг
3. Выберем
из
вершину
,
смежную с какой-
либо
вершиной
.
Это возможно в силу связности
.
Образуем
дерево
,
добавив к
вершину
и ребро
.
Переходим
к шагу 2, положив
.
Пример
Рассмотрим граф на рис.12.10.
.
Выберем, например,
.
Так как
,
то процесс построения продолжаем.
.
Остовное
дерево построено. Оно не содержит
ребра графа.