![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава 10 теория функций комплексного переменного
- •§ 10.1 Комплексные числа. Топология расширенной комплексной плоскости.
- •§ 10.2 Аналитические и их физический смысл.
- •§ 10.3 Интегрирование аналитических функций
- •§ 10.4 Ряды с комплексными членами. Полюс. Вычеты
- •§ 10.5 Изменение аргумента функции вдоль кривой. Годографы.
- •§ 10.6 Преобразование Лапласа
- •§ 10.7 Z- преобразование и разностные уравнения
- •§ 10.8 Обобщенные функции и преобразование Лапласа
- •§12.1 Элементы теории графов
- •§12.1 Элементы теории графов
- •§12.2 Графы электрических цепей
- •Глава 15 случайные функции
- •Глава 16 вариационное исчисление
- •§ 16.1 Вариация функционала
- •§ 1.2 Задачи на безусловный экстремум
- •§ 16.3 Задачи на условный экстремум
- •В опросы ко второму блоку
- •Типовые задачи к экзамену
- •Литература
§ 10.8 Обобщенные функции и преобразование Лапласа
Опр
Носителем
КЗФ
на оси
называется замыкание множества точек,
в которых
.
Обозначение
.
Пр.
Носитель
функции Хевисайда
.
Опр
Пространством
основных
(финитных)
функций
называется пространство
бесконечно дифференцируемых функций,
на
,
которые имеют компактный (то есть
ограниченный) носитель.
Пр
Функция
шапочка
- бесконечно дифференцируема на
и финитная с носителем
.
Опр
Последовательность
финитных функций
называется сходящейся
к нулю,
если
,
и
последовательности
равномерно стремятся к нулю на
.
Обозначение
.
Опр
Линейный
функционал
на пространстве
называется непрерывным
функционалом (обобщенной функцией),
если
.
Обозначение
- пространство обобщенных функций.
Пр
1 Каждый
оригинал
определяет обобщенную функцию на
пространстве
по
правилу
.
Пр
2 Каждая
функция
определяет обобщенную функцию по
правилу
.
Опр
Обобщенная
функция
называется регулярной,
если она порождена локально
суммируемой
(то есть суммируемой на каждом отрезке
из
)
функцией
по правилу
.
Опр
-ой
производной обобщенной функции
называется
функционал
на пространстве
,
определяемый по правилу
.
ЗАМЕЧАНИЕ 1) Производная обобщенной функции будет функцией обобщенной.
2)
Если регулярная обобщенная функция
порождена
раз непрерывно дифференцируемой
функцией
,
то
.
Опр
Линейный функционал
на
,
определяемый по правилу
,
называется
-
функцией (единичным
импульсом, функцией Дирака).
ТЕОРЕМА
10.13 (свойства
-функции)
1)
.
2)
,
то есть
является слабым
пределом последовательности
регулярных обобщенных функций,
порожденных функциями
.
3)
.
4)
.
ЗАМЕЧАНИЕ
1 (физический
смысл
-функции)
Плотностью
материальной точки с
координатой
и массой
равна обобщенной функции
.
◄ По
физическому смыслу точка является
пределом последовательности интервалов
массы
с однородной плотностью, которые
стягиваются к этой точке. Функция
плотности такого интервала равна
,
так как
.
Рассматривая ее как регулярную обобщенную
функцию, имеем
.
►
СЛЕДСТВИЕ
Плотность
системы материальных точек на оси с
координатами
и массами соответственно
равна
.
ЗАМЕЧАНИЕ
2 (физический
смысл
-функции)
Ударным
импульсом силы величины
,
приложенным к материальной точке с
координатой
называется обобщенная функция
.
____
Опр
Обозначим
пространство бесконечно дифференцируемых
на оси
функций, у которых каждая производная
убывает на бесконечности быстрее любой
степени
:
.
Пр
1 Функция
.
Пр
2 «Шапочка»
,
так как имеет компактный носитель
и бесконечно дифференцируема на
.
Опр
Последовательность функций
называется
сходящейся к нулю,
если
последовательности
равномерно на оси
стремится к нулю, когда
.
Опр
Линейный функционал
на пространстве
называется непрерывным
(обобщен
ной функцией медленного роста),
если
,
сходящейся к нулю,
.
Обозначение
-
пространство обобщенных функций
медленного роста.
ЗАМЕЧАНИЕ
1
.
ЗАМЕЧАНИЕ
2 Запас
обобщенных функций из
достаточно богат. Например, измеримые
функции медленного
роста, то
есть функции, для которых при некотором
сходится интеграл
,
определяют регулярные обобщенные
функции из
.
Таковы, например, функции
.
Опр
Носителем
обобщенной функции
называется такое наименьшее замкнутое
множество
,
что
выполняется условие: если
,
то
.
Пр
.
Опр Произведением бесконечно дифференцируемой на оси функции на обобщенную
называется
обобщенная функция
,
определяемая по правилу
Опр
Обозначим
.
Обобщенная функция
,
называется
обобщенным
оригиналом,
если
.
Пр
1 Обычный
оригинал
порождает регулярную обобщенную
функцию над
по правилу
,
которая является обобщенным оригиналом
с
.
Пр
2
обобщенные функции
являются обобщенными оригина- лами.
Действительно, пусть
.
Тогда
,
откуда
,
то есть
обобщенный оригинал.
Опр
Изображением
обобщенного оригинала
называется функция комплексного
переменного в полуплоскости
,
определяемая по правилу
,
где
.
Пр
.
Опр Правило, сопоставляющее обобщенному оригиналу его изображение, называется обобщенным преобразованием Лапласа.
ЗАМЕЧАНИЕ
(свойства) 1)
Изображение
является аналитической в полуплоско
сти
функцией. 2)
(теорема Шварца) Аналитическая в
какой-либо полуплоскости
функция
является изображением обобщенного
оригинала тогда и только тог да, когда
.
3)
Множества обобщенных оригиналов
и изображений обобщенных оригиналов
являются векторными пространствами и
обобщенное преобразование Лапласа
является изоморфизмом
на
.
Пр
Материальная
точка массы
совершает прямолинейные горизонтальные
колебания без трения под действием
силы
,
пропорциональной отклонению
.
В моменты времени
,
на нее действуют импульсы силы
соответственно. Определить закон
движения точки. В начальный момент
времени точка находится в положении
и имеет скорость
.
◄ В
соответствии с условием искомый закон
удовлетворяет дифференциальному
уравнению
с
начальным условием
.
Решение
однородного
с этим условием имеет вид
.
Для
нахождения частного решения исходного
уравнения с нулевыми начальными
условиями используем обобщенное
преобразование Лапласа. Учитывая
,
имеем
.
Тогда обратное преобразование дает частное решение
.
Поэтому искомое колебание материальной точки осуществляется по закону
.
Дифференцированием
нетрудно убедиться, что в момент времени
скорость материальной
точки
скачком изменяется на величину
.►