- •Глава 10 теория функций комплексного переменного
- •§ 10.1 Комплексные числа. Топология расширенной комплексной плоскости.
- •§ 10.2 Аналитические и их физический смысл.
- •§ 10.3 Интегрирование аналитических функций
- •§ 10.4 Ряды с комплексными членами. Полюс. Вычеты
- •§ 10.5 Изменение аргумента функции вдоль кривой. Годографы.
- •§ 10.6 Преобразование Лапласа
- •§ 10.7 Z- преобразование и разностные уравнения
- •§ 10.8 Обобщенные функции и преобразование Лапласа
- •§12.1 Элементы теории графов
- •§12.1 Элементы теории графов
- •§12.2 Графы электрических цепей
- •Глава 15 случайные функции
- •Глава 16 вариационное исчисление
- •§ 16.1 Вариация функционала
- •§ 1.2 Задачи на безусловный экстремум
- •§ 16.3 Задачи на условный экстремум
- •В опросы ко второму блоку
- •Типовые задачи к экзамену
- •Литература
§ 10.7 Z- преобразование и разностные уравнения
Опр Последовательность комплексных чисел , обладающая свойством , называется оригиналом.
Опр Изображением (Z-преобразованием)оригинала называется функция
ЗАМЕЧАНИЕ Изображение является аналитической функцией с центром в бесконечно удаленной точке .
Обозначение или .
Пр 1 Единичный импульс (дельта-импульс Кронекера) имеет Z -преобразование .
Пр 2 Пусть . Тогда .
Пр 3 Найдем оригинал по изображению .
.
ТЕОРЕМА 10.11 (свойства Z- преобразования)
1) Множество оригиналов и множество аналитических в точке функций
являются векторными пространствами, а Z-преобразование является их изоморфизмом.
2) (связь с преобразованием Лапласа) Если по оригиналу построить ступенчатую функцию , то изображение последней по Лапласу и Z-преобразование связаны равенством .
3) (теорема опережения (смещения)) .
4) (дифференцирование изображений)
5) (свертка оригиналов)
6) (сложная свертка) .
7) (формула обращения) , где - спрямляемый жорданов контур, охватывающий бесконечно удаленную точку;
, если есть рациональная функция с полюсами .
8) (масштабирование частоты) .
Пр Найдем оригинал по изображению , где .
.
Опр Система уравнений (1)
где , , называется линейным разностным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами.
Опр Пусть даны числа . Решением разностного уравнения (1) с начальными данными называется последовательность чисел которая удовлетворяет всем уравнениям (1) и начальным условиям .
Опр Разностное уравнение (1) называется асимптотически устойчивым, если при любых начальных условиях соответствующее решение однородного уравнения стремится к нулю: .
ТЕОРЕМА 10.12 (свойства решений разностного уравнения)
1) Для любой -ки чисел решение задачи Коши для однородного разностно го уравнения с начальными условиями существует и единственно
2) Пусть есть нули кратностей соответственно характеристического многочлена . Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид .
Рассмотрим разностное уравнение вида
, (2)
с начальными условиями , где - известный оригинал, а - искомое решение. Обозначим ,
,
.
Тогда:
3) решение однородного уравнения с заданными начальными условиями единственно и равно ;
4) решение неоднородного уравнения с нулевыми начальными условиями равно , а его решение с исходными начальными условиями равно
;
5) Разностное уравнение (1) асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда нули его характеристического многочлена по модулю меньше 1.
Пр 1 Решим разностное уравнение третьего порядка
где .
Так как , , то по последней теореме 10.12.4
.
Это есть искомое решение разностного уравнения с заданными начальными условиями.
Пр 2 Разностное уравнение является асимптотически устойчивым, так как корни его характеристического уравнения лежат в единичном круге.
_____
Опр Пусть функции определены на . Нормальной системой разностных уравнений (НСРУ) называется система вида . Или в матрич ном виде . Нормальной системой линейных разностных уравнений (НСЛРУ) называется система вида
Или в матричном виде . Если матрица не зависит от ,
последняя называется системой с постоянными коэффициентами.