- •Оглавление
- •3.6. Автокорреляционная функция и спектральная плотность ..118
- •3.7. Фрактальные структуры и размерность аттрактора ………123
- •Введение
- •1. Модели нелинейных динамических систем
- •1.1. Потоки
- •1.2. Каскады
- •1.3. Связь уравнения движения и отображения
- •1.3.1. Непрерывное время
- •1.3.2. Дискретное время
- •1.4. Уравнения в вариациях
- •1.5. Диссипативные и консервативные системы
- •2. Регулярная динамика
- •2.1. Особые точки
- •2.1.1. Основные определения
- •2.1.2. Классификация особых точек линейных
- •2.1.3. Классификация особых точек нелинейных векторных полей
- •2.1.4. Особые точки каскада
- •2.2. Периодические решения
- •2.2.1. Переход к системе с постоянными коэффициентами
- •2.2.2. Линеаризация уравнений с периодическим решением
- •2.2.3. Построение сечения Пуанкаре
- •2.2.4. Периодические решения (циклы) каскадов
- •2.3. Инвариантные, предельные и притягивающие множества
- •2.3.1. Инвариантные множества (многообразия)
- •2.3.2. Предельные множества
- •2.3.3. Притягивающие множества
- •2.3.4. Аттрактор
- •2.3.5. Поглощающее множество
- •2.4. Устойчивость
- •2.4.1. Понятие устойчивости
- •2.4.2. Устойчивость по Ляпунову
- •2.4.3. Устойчивость по Пуассону
- •2.4.4. Структурная устойчивость
- •3. Хаотическая динамика
- •3.1. Признаки хаотического поведения
- •3.1.1. Существенная зависимость от начальных данных
- •3.1.2. Инвариантная мера
- •3.1.3. Эргодичность и перемешивание
- •3.1.4. Энтропия
- •3.1.5. Автокорреляционная функция
- •3.1.6. Фрактальная структура странных аттракторов
- •3.2. Характеристические показатели ляпунова
- •3.2.1. Непрерывные динамические системы
- •3.2.2. Дискретные динамические системы
- •3.2.3. Характеристические показатели и изменение фазового объема
- •3.2.4. Свойства характеристических показателей Ляпунова
- •3.3. Инвариантные меры динамических систем
- •3.3.1. Типы вероятностных мер
- •3.3.2. Инвариантная мера. Оператор Перрона‑Фробениуса
- •3.3.3. Эргодическая мера
- •3.3.4. Физическая мера
- •3.3.5. Устойчивость и сходимость мер
- •3.4. Эргодичность и перемешивание
- •3.4.1. Эргодичность
- •3.4.2. Перемешивание
- •3.4.3. Перекладывание
1.2. Каскады
В некоторых ситуациях для моделирования системы достаточно указать ее состояние в заданные дискретные моменты времени. В этом случае в качестве эволюционного оператора можно использовать функцию, определяющую состояние системы в некоторый момент времени через ее состояние в предыдущий момент. Математической моделью динамической системы в этом случае служит разностное уравнение с заданным начальным условием
. (1.9)
Рассмотрим диффеоморфизм класса , , т. е. гомеоморфизм на такой, что и – отображения класса . Свяжем с диффеоморфизмом отображение : , определенное следующим образом:
для ;
для .
Отображение обладает следующими свойствами:
‑ ; (1.10)
‑ для любых
; (1.11)
‑ при любом фиксированном отображение
класса . (1.12)
Определение 1.6. Отображение со свойствами (1.10) ‑ (1.12) называется гладким каскадом, или гладкой динамической системой с дискретным временем на .
Определение 1.7. Множество
называется орбитой или траекторией точки под действием каскада .
Для траектории динамической системы (1.9) может выполняться одна из двух возможностей:
‑ либо при некотором , в этом случае существует наименьшее натуральное такое, что для всех , сама точка называется периодической точкой периода , а ее траектория состоит из различных точек (при точка называется неподвижной);
‑ либо для всех , в этом случае траектория состоит из счетного множества различных точек.
1.3. Связь уравнения движения и отображения
Локальные свойства динамических систем, т. е. их свойства при малых временах определяются видом исследуемых дифференциальных уравнений (уравнений движения). Асимптотическое поведение решений при зависит от свойств отображения .
Чаще всего отображение неизвестно, а динамическая система задается в виде уравнений движения, которые позволяют по точке в момент времени найти точку, отвечающую следующему моменту времени: для непрерывного времени и для дискретного. Т. е. определяется не вся траектория сразу, а задается правило, по которому траектория находится шаг за шагом. Такой способ оказывается более универсальным, чем задание отображения в явном виде. Например, для большинства хаотических систем не существует конструкций, позволяющих записать отображение, минуя все промежуточные моменты времени.
Одна из основных задач нелинейной динамики состоит в исследовании свойства отображения по заданным уравнениям движения.
1.3.1. Непрерывное время
Если время меняется непрерывно, то динамическая система задается в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений (1.1). Установим связь между функцией и отображением . Пусть в некоторый момент состояние динамической системы описывается точкой . Тогда . С другой стороны,
,
т. е.
.
Таким образом, если – решение дифференциального уравнения при начальных данных , тогда . Аргумент функции – это начальные данные для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Следовательно, производная – это производная решения по начальным данным.
Пример. , – положительное число. Решением уравнения с начальными данными будет . Поэтому .
Пример. , – постоянная матрица. Решение линейной системы , тогда .