![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Оглавление
- •3.6. Автокорреляционная функция и спектральная плотность ..118
- •3.7. Фрактальные структуры и размерность аттрактора ………123
- •Введение
- •1. Модели нелинейных динамических систем
- •1.1. Потоки
- •1.2. Каскады
- •1.3. Связь уравнения движения и отображения
- •1.3.1. Непрерывное время
- •1.3.2. Дискретное время
- •1.4. Уравнения в вариациях
- •1.5. Диссипативные и консервативные системы
- •2. Регулярная динамика
- •2.1. Особые точки
- •2.1.1. Основные определения
- •2.1.2. Классификация особых точек линейных
- •2.1.3. Классификация особых точек нелинейных векторных полей
- •2.1.4. Особые точки каскада
- •2.2. Периодические решения
- •2.2.1. Переход к системе с постоянными коэффициентами
- •2.2.2. Линеаризация уравнений с периодическим решением
- •2.2.3. Построение сечения Пуанкаре
- •2.2.4. Периодические решения (циклы) каскадов
- •2.3. Инвариантные, предельные и притягивающие множества
- •2.3.1. Инвариантные множества (многообразия)
- •2.3.2. Предельные множества
- •2.3.3. Притягивающие множества
- •2.3.4. Аттрактор
- •2.3.5. Поглощающее множество
- •2.4. Устойчивость
- •2.4.1. Понятие устойчивости
- •2.4.2. Устойчивость по Ляпунову
- •2.4.3. Устойчивость по Пуассону
- •2.4.4. Структурная устойчивость
- •3. Хаотическая динамика
- •3.1. Признаки хаотического поведения
- •3.1.1. Существенная зависимость от начальных данных
- •3.1.2. Инвариантная мера
- •3.1.3. Эргодичность и перемешивание
- •3.1.4. Энтропия
- •3.1.5. Автокорреляционная функция
- •3.1.6. Фрактальная структура странных аттракторов
- •3.2. Характеристические показатели ляпунова
- •3.2.1. Непрерывные динамические системы
- •3.2.2. Дискретные динамические системы
- •3.2.3. Характеристические показатели и изменение фазового объема
- •3.2.4. Свойства характеристических показателей Ляпунова
- •3.3. Инвариантные меры динамических систем
- •3.3.1. Типы вероятностных мер
- •3.3.2. Инвариантная мера. Оператор Перрона‑Фробениуса
- •3.3.3. Эргодическая мера
- •3.3.4. Физическая мера
- •3.3.5. Устойчивость и сходимость мер
- •3.4. Эргодичность и перемешивание
- •3.4.1. Эргодичность
- •3.4.2. Перемешивание
- •3.4.3. Перекладывание
3.3.4. Физическая мера
Понятие “физической меры” возникло из следующего простого соображения. Инвариантных мер у динамической системы может быть много. Но если взять конкретную систему, получить численно достаточно длинную траекторию на аттракторе и вычислить сумму (3.21), то результат будет отвечать не бесконечному числу мер, а некоторой одной, вполне конкретной, выделенной траектории, которая и соответствует реальному, “физическому” поведению системы. Ее и надо иметь в виду, когда упоминается свойство эргодичности. Такую меру принято называть физической или колмогоровской мерой.
Удовлетворительного
определения физической меры, пригодного
на все случаи жизни, пока не существует.
Одна из идей связана с тем, что в реальных
системах всегда присутствует малый
шум. Если система имеет единственный
аттрактор, то при введении шума остается
единственная мера, которая при
стремится к нужной физической мере.
Когда у системы несколько аттракторов,
добавление гауссового шума или
виноровского случайного процесса
приводит иногда к перескакиванию с
одного аттрактора на другой. Мера системы
с таким шумом растекается по всем
аттракторам сразу. В таких случаях
физической меры не существует.
В гамильтоновых системах существование инвариантной меры часто вытекает из теоремы Лиувилля. Рассмотрим в ‑мерном пространстве систему обыкновенных дифференциальных уравнений
,
(3.22)
у которой правые
части принадлежат классу
.
Мы можем определить поток
,
где
есть решение
системы (3.22), для которого
.
Пусть
– неотрицательная
интегрируемая функция. С ее помощью
можно построить меру
.
Теорема Лиувилля утверждает, что если
определить меру
равенством
,
то
будет иметь плотность
,
удовлетворяющую уравнению
.
(3.23)
Уравнение
(3.23) – уравнение
неразрывности. Из него видно, что
будет инвариантной мерой для потока
,
если
.
Иногда такая мера
называется мерой Лиувилля, а последнее
уравнение – стационарным
уравнением Лиувилля.
В диссипативных
системах, где
,
вообще говоря, может не быть инвариантной
меры, задаваемой плотностью по мере
Лебега, поскольку
характеризует уменьшение меры Лебега
любого множества под действием
динамической системы. В таких системах,
возможно, что сама динамика “вырабатывает”
естественную инвариантную меру.
Предположим, что для потока
,
определяемого системой (3.22), имеется
компактная область
с гладкой границей
,
и на границе
векторное поле
направлено внутрь
.
Тогда
при всех
.
Образуем пересечение
.
Часто такое пересечение называется
аттрактором. Пусть
– произвольная
абсолютно непрерывная мера, сосредоточенная
в компактной области
.
Тогда мера
,
где
,
сосредоточена в области
.
Если существует слабый предел
мер
при
,
то этот предел будет инвариантной мерой,
поскольку для любой непрерывной функции
,
сосредоточенной в области
,
имеем
.
Ясно, что мера сосредоточена на аттракторе. Особенно важен случай, когда мера не зависит от выбора начальной меры . Тогда ее естественно принять за инвариантную меру, которая вырабатывается динамической системой.