![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Оглавление
- •3.6. Автокорреляционная функция и спектральная плотность ..118
- •3.7. Фрактальные структуры и размерность аттрактора ………123
- •Введение
- •1. Модели нелинейных динамических систем
- •1.1. Потоки
- •1.2. Каскады
- •1.3. Связь уравнения движения и отображения
- •1.3.1. Непрерывное время
- •1.3.2. Дискретное время
- •1.4. Уравнения в вариациях
- •1.5. Диссипативные и консервативные системы
- •2. Регулярная динамика
- •2.1. Особые точки
- •2.1.1. Основные определения
- •2.1.2. Классификация особых точек линейных
- •2.1.3. Классификация особых точек нелинейных векторных полей
- •2.1.4. Особые точки каскада
- •2.2. Периодические решения
- •2.2.1. Переход к системе с постоянными коэффициентами
- •2.2.2. Линеаризация уравнений с периодическим решением
- •2.2.3. Построение сечения Пуанкаре
- •2.2.4. Периодические решения (циклы) каскадов
- •2.3. Инвариантные, предельные и притягивающие множества
- •2.3.1. Инвариантные множества (многообразия)
- •2.3.2. Предельные множества
- •2.3.3. Притягивающие множества
- •2.3.4. Аттрактор
- •2.3.5. Поглощающее множество
- •2.4. Устойчивость
- •2.4.1. Понятие устойчивости
- •2.4.2. Устойчивость по Ляпунову
- •2.4.3. Устойчивость по Пуассону
- •2.4.4. Структурная устойчивость
- •3. Хаотическая динамика
- •3.1. Признаки хаотического поведения
- •3.1.1. Существенная зависимость от начальных данных
- •3.1.2. Инвариантная мера
- •3.1.3. Эргодичность и перемешивание
- •3.1.4. Энтропия
- •3.1.5. Автокорреляционная функция
- •3.1.6. Фрактальная структура странных аттракторов
- •3.2. Характеристические показатели ляпунова
- •3.2.1. Непрерывные динамические системы
- •3.2.2. Дискретные динамические системы
- •3.2.3. Характеристические показатели и изменение фазового объема
- •3.2.4. Свойства характеристических показателей Ляпунова
- •3.3. Инвариантные меры динамических систем
- •3.3.1. Типы вероятностных мер
- •3.3.2. Инвариантная мера. Оператор Перрона‑Фробениуса
- •3.3.3. Эргодическая мера
- •3.3.4. Физическая мера
- •3.3.5. Устойчивость и сходимость мер
- •3.4. Эргодичность и перемешивание
- •3.4.1. Эргодичность
- •3.4.2. Перемешивание
- •3.4.3. Перекладывание
3.2.3. Характеристические показатели и изменение фазового объема
Характерной
особенностью гамильтоновых систем
является сохранение их фазового объема.
В диссипативных системах фазовый объем
в среднем сжимается. Вычислим изменение
малого элемента объема
в точке
,
где
.
(3.12)
Скорость изменения фазового объема равна
.
(3.13)
Из соотношения (3.12) имеем
.
Используя уравнение (3.1), для нормированного изменения фазового объема из (3.13) при получаем
.
Относительное
изменение фазового объема определяется
знаком дивергенции вектора
.
Величина
зависит от траектории
и может быть как положительной
(растяжение), так и отрицательной
(сжатие). При движении гамильтоновой
системы, как отмечалось выше, ее фазовый
объем сохраняется. В диссипативных
системах фазовый объем в среднем
сжимается.
Среднюю скорость изменения фазового объема можно записать в виде
,
где
,
– фазовые
объемы в момент времени
и
(текущее время).
Для каскада фазовый
объем сжимается за одну итерацию в
раз, и скорость сжатия равна
.
Усредняя эту величину вдоль траектории, получим
.
Среднюю скорость сжатия фазового объема можно выразить и через характеристические показатели Ляпунова
.
(3.14)
Хаотическое
движение связано с экспоненциальным
увеличением расстояния между первоначально
близкими траекториями, т. е. для
хаотического движения
.
С другой стороны, фазовый объем
диссипативных систем должен сжиматься.
Из этих двух фактов следует, что
хаотическое движение для одномерных и
двумерных потоков невозможно. Для
двумерного случая (
)
отображение Пуанкаре одномерное и
обратимое, поэтому из соотношения (3.14)
следует, что
.
Такое отображение не может быть
одновременно и диссипативным (
)
и хаотическим (
).
Наиболее простыми системами с хаотическим
поведением являются трехмерные потоки
или двумерные каскады. В последнем
случае для хаотического движения должно
быть
и
.
Критерии, позволяющие по знакам характеристических показателей Ляпунова определить типы аттракторов динамических систем, имеют следующий вид.
Для одномерной
системы, в
которой аттракторами могут быть только
устойчивые особые точки, существует
один показатель Ляпунова, который
отрицателен,
.
В двумерных системах
аттракторы встречаются только двух
типов: устойчивые стационарные точки
и предельные циклы. Если оба показателя
отрицательны,
,
то аттрактором является устойчивая
стационарная точка. Если
,
то аттрактор – предельный
цикл (один из показателей, соответствующий
направлению движения вдоль цикла, равен
нулю).
В трехмерных системах, помимо устойчивых особых точек и предельных циклов, аттракторами могут быть инвариантные торы и странные аттракторы:
– устойчивый
фокус или узел;
–
устойчивый
предельный цикл;
– устойчивый
тор;
– странный
аттрактор.
В ‑мерных системах сигнатура спектра характеристических показателей фазовой траектории может принимать следующий вид:
– состояние
равновесия;
– предельный
цикл;
–
‑мерный
тор,
;
– странный
аттрактор,
.
Пример.
Для системы Лоренца (см. пример к пункту
2.3.5) при
,
,
характеристические показатели Ляпунова
равны
,
,
.
Характеристический показатель третьего
порядка равен
.
Фазовый объем сжимается, и имеет место
локальная неустойчивость на аттракторе
(
).
Следовательно, при заданных параметрах
в фазовом пространстве имеется странный
аттрактор, и движение будет хаотическим.