![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Оглавление
- •3.6. Автокорреляционная функция и спектральная плотность ..118
- •3.7. Фрактальные структуры и размерность аттрактора ………123
- •Введение
- •1. Модели нелинейных динамических систем
- •1.1. Потоки
- •1.2. Каскады
- •1.3. Связь уравнения движения и отображения
- •1.3.1. Непрерывное время
- •1.3.2. Дискретное время
- •1.4. Уравнения в вариациях
- •1.5. Диссипативные и консервативные системы
- •2. Регулярная динамика
- •2.1. Особые точки
- •2.1.1. Основные определения
- •2.1.2. Классификация особых точек линейных
- •2.1.3. Классификация особых точек нелинейных векторных полей
- •2.1.4. Особые точки каскада
- •2.2. Периодические решения
- •2.2.1. Переход к системе с постоянными коэффициентами
- •2.2.2. Линеаризация уравнений с периодическим решением
- •2.2.3. Построение сечения Пуанкаре
- •2.2.4. Периодические решения (циклы) каскадов
- •2.3. Инвариантные, предельные и притягивающие множества
- •2.3.1. Инвариантные множества (многообразия)
- •2.3.2. Предельные множества
- •2.3.3. Притягивающие множества
- •2.3.4. Аттрактор
- •2.3.5. Поглощающее множество
- •2.4. Устойчивость
- •2.4.1. Понятие устойчивости
- •2.4.2. Устойчивость по Ляпунову
- •2.4.3. Устойчивость по Пуассону
- •2.4.4. Структурная устойчивость
- •3. Хаотическая динамика
- •3.1. Признаки хаотического поведения
- •3.1.1. Существенная зависимость от начальных данных
- •3.1.2. Инвариантная мера
- •3.1.3. Эргодичность и перемешивание
- •3.1.4. Энтропия
- •3.1.5. Автокорреляционная функция
- •3.1.6. Фрактальная структура странных аттракторов
- •3.2. Характеристические показатели ляпунова
- •3.2.1. Непрерывные динамические системы
- •3.2.2. Дискретные динамические системы
- •3.2.3. Характеристические показатели и изменение фазового объема
- •3.2.4. Свойства характеристических показателей Ляпунова
- •3.3. Инвариантные меры динамических систем
- •3.3.1. Типы вероятностных мер
- •3.3.2. Инвариантная мера. Оператор Перрона‑Фробениуса
- •3.3.3. Эргодическая мера
- •3.3.4. Физическая мера
- •3.3.5. Устойчивость и сходимость мер
- •3.4. Эргодичность и перемешивание
- •3.4.1. Эргодичность
- •3.4.2. Перемешивание
- •3.4.3. Перекладывание
2.2.4. Периодические решения (циклы) каскадов
Для каскада
(отображения)
исследование его периодического решения
сводится к исследованию неподвижной
точки линейного отображения с постоянной
матрицей
.
Достаточно перейти от к ‑ой итерации функции :
.
Тогда периодической
траектории, состоящей из последовательности
точек
,
будет соответствовать
неподвижных точек отображения
.
Аналогом матрицы
для неподвижной точки будет произведение
матриц
.
Конечное множество итераций, каждое из которых переходит в следующее под действием отображения , и является циклом длиной .
2.3. Инвариантные, предельные и притягивающие множества
Инвариантные, предельные и притягивающие множества играют существенную роль при изучении устойчивости особых точек и циклов нелинейных динамических систем.
2.3.1. Инвариантные множества (многообразия)
Пусть задано
множество
фазового пространства
.
Определение 2.7. Функцией от множества называется множество образов всех точек из множества .
Функция от множества
обозначается как
.
Определение 2.8.
Множество
фазового пространства
называется инвариантным по отношению
к фазовому потоку
множеством или просто инвариантным
множеством, если для всех допустимых
имеет место
.
Т. е. множество и его образ при отображении совпадают.
Определение 2.9.
Многообразием называется множество
евклидова пространства
,
имеющее в каждой своей точке единственную
касательную гиперплоскость.
В этом случае говорят, что множество гладко вложено в . Если множество гладко вложено в фазовое пространство системы дифференциальных уравнений, то говорят, что является подмногообразием фазового пространства.
Определение 2.10. Инвариантное многообразие векторного поля и соответствующей системы дифференциальных уравнений – это такое подмногообразие фазового пространства, которое в каждой своей точке касается векторного поля.
Рассмотрим линейный
оператор
.
Пространство
распадается на прямую сумму трех
подпространств:
.
Все три подпространства
в правой части равенства инвариантны
относительно оператора
.
Спектр ограничения оператора
на подпространство
лежит в открытой левой полуплоскости.
Спектр ограничения оператора
на
– в
правой полуплоскости. Спектр ограничения
оператора
на
– на
мнимой оси. Для оператора
,
являющегося оператором линеаризации
векторного поля
уравнения (1.1) в гиперболической особой
точке, имеем
.
Схематично инвариантные многообразия
линейной и нелинейной системы представлены
на рис. 2.6.
Теорема 2.3.
(теорема Адамара–Перрона).
Пусть
есть
–
гладкое
векторное поле с гиперболической особой
точкой в нуле и линейной частью
в нуле,
,
– подпространства,
соответствующие оператору
.
Тогда система дифференциальных уравнений
имеет два
– гладких
инвариантных относительно
многообразия
и
,
проходящих через
и касающихся в нуле плоскости
и
,
соответственно. Решения с начальными
условиями на многообразии
(
)
экспоненциально стремятся к нулю при
(
).
Многообразие
называется устойчивым, а
– неустойчивым
многообразием особой точки
.
Рис. 2.6. Инвариантные многообразия
линейной (а) и нелинейной (б) системы
Теорема 2.4.
(теорема о центральном многообразии).
Если в условиях предыдущей теоремы
оператор
имеет собственные значения также и на
мнимой оси, т. е.
,
то система дифференциальных уравнений
(1.1) имеет третье
– гладкое
инвариантное многообразие
,
проходящее через
и касающееся в нуле подпространства
.
Многообразие
называется центральным многообразием,
а подпространство
– подпространством
гиперболических переменных. Поведение
фазовых кривых на многообразии
определяется нелинейными членами.
Пример.
Инвариантные
множества каскада (линейного отображения).
Для линейных дискретных систем
отображение
выписывается в явном виде
.
Инвариантными множествами будут линейные
оболочки (подпространства) собственных
векторов матрицы
,
среди которых выделяются три:
(устойчивое) подпространство собственных
векторов, отвечающих собственным числам
;
(неустойчивое) – подпространство
собственных векторов, отвечающих
собственным числам
;
(центральное) – подпространство
собственных векторов, отвечающих
собственным числам
.
Эти подпространства используются при линеаризации дискретных систем (1.9) в окрестности неподвижных точек.