49. Интервальные оценки параметров генеральной совокупности

Билет 50+51

содержание

50. Интервальная оценка генеральной средней нормально распределенной генеральной совокупности.

Дана выборка (x₁, x₂, …, x_n) объема n из генеральной совокупности с генеральным средним a и генеральной дисперсией ². Ищется интервал [Θ₁, Θ₂], в котором a может находиться с доверительной вероятностью  γ.

Доверительный интервал для неизвестного математического ожидания a при известной дисперсии

Предполагая, что предварительно определена точечная оценка a – выборочное среднее , в качестве статистики для получения Θ₁ = Θ₁(x₁, x₂, …, x_n) и Θ₂=Θ₂(x₁, x₂, …, x_n) рассмотрим нормированное выборочное среднее , имеющее нормальное распределение ( ).

, где - функция Лапласа.

Полагаем .

Находим и - квантили нормированного нормального распределения уровней и :

;

;

- нечетная функция .

доверительный интервал:

_.

Точность оценки: .

Доверительный интервал для неизвестного математического ожидания при неизвестной дисперсии

Пусть предварительно определена точечная оценка a – выборочное среднее . В качестве статистики для получения интервальной оценки [Θ₁, Θ₂], рассматривается нормированное выборочное среднее

,

где - несмещенная оценка при неизвестном . Величина z имеет не зависящее от распределение Стьюдента с степенями свободы.

Определим две квантили t-распределения: и , соответствующие надежности и числу степеней свободы.

P[t₁ <  z  < t₂] = γ 

и, в силу симметричности распределения Стьюдента, , получаем

Доверительный интервал:

.

Точность оценки: .

Замечание. Как в случае известной, так и неизвестной дисперсии выборочное среднее является серединой доверительного интервала для . Длина найденного интервала стремится к нулю при неограниченном увеличении объема выборки .

содержание

51. Интервальная оценка генеральной дисперсии нормально распределенной генеральной совокупности.

Дана выборка (x₁, x₂, …, x_n) объема n из нормальной генеральной совокупности с генеральным средним a и генеральной дисперсией ². Ищется интервал [Θ₁, Θ₂], в котором ² может находиться с доверительной вероятностью  γ.

Доверительный интервал для неизвестной дисперсии при известном математическом ожидании

В качестве статистики рассматривается величина

, где - несмещенная оценка при известном . Функция имеет не зависящее от распределение с степенями свободы.

Определим , - квантили распределения , соответствующие надежности и числу степеней свободы.

доверительный интервал:

.

Доверительный интервал для неизвестной дисперсии при неизвестном математическом ожидании

, где - несмещенная выборочная дисперсия. Функция имеет не зависящее от распределение с степенями свободы.

, - квантили -распределения, соответствующие надежности и числу степеней свободы.

.

доверительный интервал:

_.

содержание

52. Статистические гипотезы и правила их проверки. Статистические критерии.

Основные типы гипотез, проверяемых в ходе статистического анализа и моделирования

Гипотезы о типе закона распределения исследуемой случайной величины

Гипотезы об однородности двух или нескольких обрабатываемых выборок или некоторых характеристик анализируемых совокупностей

Гипотезы о числовых значениях параметров исследуемой генеральной совокупности

Гипотезы об общем виде модели, описывающей статистическую зависимость между признаками

Понятие статистической гипотезы

Пусть - независимая повторная выборка объема из некоторой генеральной совокупности с неизвестной функцией распределения .

Под статистической гипотезой понимается всякое предположение о виде или параметрах неизвестного закона распределения.

Гипотеза есть определенное утверждение, которое по отношению к реальной ситуации является или истинным, или ложным высказыванием.

Простой статистической гипотезой называется предположение о соответствии неизвестной функции распределения некоторому конкретному распределению вероятностей.

Сложной статистической гипотезой называется предположение о том, что неизвестное распределение принадлежит некоторому множеству распределений, состоящему более чем из одного элемента.

Если удается выдвинуть две взаимоисключающие статистические гипотезы, содержащих в своей совокупности верное суждение о неизвестном распределении, то проверяемую гипотезу принято называть основной (или нулевой), а противоположную гипотезу - альтернативой (или конкурирующей гипотезой).

Этапы проверки статистических гипотез

Формулировка основной гипотезы H₀ и конкурирующей гипотезы H₁. Гипотезы должны быть чётко формализованы в математических терминах.

Задание уровня значимости α, отвечающей ошибкам первого рода, на котором в дальнейшем и будет сделан вывод о правдивости гипотезы.

Расчёт статистики K критерия.

Построение критической области.

Вывод об истинности гипотезы. Наблюдаемые значения выборки подставляются в статистику K и по попаданию (или непопаданию) в критическую область W выносится решение об отвержении (или принятии) выдвинутой гипотезы H₀.

Статистический критерий

Правило, определяющее условия, при которых статистическая гипотеза отвергается или не отвергается¹, называется статистическим критерием.

Замечание. Статистический критерий не устанавливает, верна или нет выдвинутая гипотеза, а позволяет лишь проверить, противоречат или согласуются с гипотезой в рамках этого критерия выборочные данные.

Математическую основу критерия составляет выбираемая с учетом особенностей поставленной конкретной задачи специальная статистика , точное или приближенное распределение которой при выполнении гипотезы известно.

В области возможных значений статистики критерия выделяется множество , называемое критической областью (областью отвержения гипотезы).

При проверке гипотезы руководствуются следующим правилом:

если значение статистики критерия для выборки принадлежит критической области , то гипотеза отвергается, в противном случае - не отвергается.

В результате проверки гипотезы при заданном критерии ; возможны верные решения двух следующих видов:

истинная гипотеза не отвергается;

ложная гипотеза отвергается.

Ошибка первого рода совершается, когда основная гипотеза верна, но отвергается в соответствии с заданным критерием .

Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости (или размером) критерия :

.

На практике уровень значимости критерия задается изначально, исходя из потребностей реальных приложений и потенциальных последствий вероятных ошибок.

Ошибка второго рода допускается, когда альтернативная гипотеза верна, но отвергается в соответствии с заданным критерием (т.е. если основная гипотеза не верна, но не отвергается).

Величина , где - вероятность ошибки второго рода:

,

называется мощностью критерия .

Замечание. Значение (или ) вычисляется по распределению вероятностей значений критической статистики в предположении, что неизвестное распределение генеральной совокупности отвечает гипотетически верному утверждению (соответственно ):

; .

Вероятности ошибок первого и второго рода для любых гипотез и критериев находятся при разных предположениях о неизвестном распределении, что исключает наличие не зависящих от вида гипотез и критерия постоянных соотношений между ними.

Статистические критерии подразделяются на следующие категории:

Критерии согласия (Пирсона, Колмогорова-Смирнова) - проверка факта о том, что исследуемая случайная величина подчиняется предполагаемому закону. Критерии согласия можно также воспринимать, как критерии значимости.

Критерии однородности (Смирнова, Вилкоксона-Манна-Уитни, Стьюдента, критерий дисперсионного анализа, критерий однородности дисперсий, критерий Бартлетта) - случайные величины исследуются на факт взаимного соответствия их законов распределения (подчиняются ли эти величины одному и тому же закону).

Критерии проверки гипотез о числовых значениях параметров

содержание