43. Основные числовые характеристики случайной величины и их свойства

Случайные величины, помимо законов распределения, могут описываться числовыми характеристиками.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины  Х  принимающей конечное число значений  х_i  с вероятностями  р_i , называется сумма:

 

М ( Х ) = х₁ · р₁ + х₂ · р₂ + х₃ · р₃ + ... + х_n· р_n .

 

Свойства математического ожидания:

 

Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной:

М(С) = С 

Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М ( с · Х ) = с · М ( Х ) ,   c R

Математическое ожидание суммы двух случайных величин ( зависимых или независимых ) равно сумме математических ожиданий слагаемых:

М ( Х + Y ) = М ( Х ) + М ( Y ) ,     Х , Y Е

Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

М ( Х · Y ) = М ( Х ) · М ( Y )  для независимых случайных величин  Х  и  Y

Дисперсией (рассеянием) случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от ее математического ожидания.

Дисперсией случайной величины  Х  называется число:

 

D ( Х ) = М{ [ Х – М ( Х )] ² }= М ( Х ² ) – [М ( Х )] ² .

 Свойства дисперсии:

 1)      Дисперсия постоянной величины С равна нулю:

                                      D (C) = 0.                                                                     

2)      Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат:

                                           D(CX) = C²D(X).                                                    

3)      Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

                                           D(X + Y) = D(X) + D(Y).                                        

4)      Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

                                D(X – Y) = D(X) + D(Y).                                                    

Дисперсия дает среднее значение квадрата отклонения случайной величины от среднего; для оценки самого отклонения служит величина, называемая средним квадратическим отклонением.

Среднее квадратичное отклонение:

Средним квадратичным отклонением σ случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:

содержание

44.Биноминальный и нормальный законы распределения случайной величины

Биномиальное распределение

Дискретная случайная величина распределена по биномиальному закону с параметрами и , если она принимает значения с вероятностями

.n-число испытаний, m- число испытаний, в котором произошло интересующее нас событие А.

Корректность распределения:

.

Математическое ожидание биномиально распределенной случайной величины

,

дисперсия

.

Нормальное распределение (закон Гаусса)

Непрерывная случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами и , если плотность вероятности данной величины имеет вид:

.

Данное распределение вероятностей принято обозначать символом .

Нормальный закон распределения с параметрами , называется стандартным или нормированным (обозначается ).

График плотности нормального распределения симметричен относительно вертикальной прямой, проходящей через точку оси абсцисс , и достигает в указанной точке максимума, равного ; имеет две точки перегиба .

Математическое ожидание случайной величины , подчиненной нормальному закону распределения, равно параметру , а её среднее квадратическое отклонение – параметру :

, .

Коэффициенты асимметрии и эксцесса случайной величины, подчиненной нормальному закону распределения, равны нулю.

Медиана и мода нормально распределенной случайной величины совпадают с её математическим ожиданием.

Интегральная функция распределения случайной величины , подчиненной нормальному закону распределения, связана с функцией Лапласа следующим соотношением:

.

Нормальное распределение является наиболее часто встречающимся в приложениях распределением. Причина такого широкого распространения этого закона заключается в том, что практически важные случайные величины слагаются из очень большого числа независимых случайных величин, каждая из которых лишь незначительно влияет на их сумму. Подобные суммы распределены почти по нормальному закону.

Логарифмически нормальное распределение

Непрерывная случайная величина распределена по логарифмически нормальному закону с параметрами и , если плотность вероятности данной величины имеет вид:

.

Математическое ожидание случайной величины , подчиненной логарифмически нормальному закону распределения,

;

дисперсия ;

медиана однозначно определяется параметром : ; мода .

Логарифмически нормальный закон характерен для распределений доходов, банковских вкладов, цен активов, долговечности изделий, размеров частиц при дроблении и др.

содержание