- •С одержание
- •Тема 11. Линейное программирование 38
- •Введение
- •Студенты должны знать:
- •Приобрести практические навыки:
- •Курс математики состоит из следующих разделов:
- •Содержание разделов дисциплины «математика»
- •Раздел 1. Основы алгебры и анализа
- •Раздел 2. Интегральное исчисление. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Ряды
- •Раздел 3. Теория вероятностей
- •Раздел 4. Численные методы и оптимизационные задачи
- •Основные теоретические положения
- •Тема 1. Матрицы, определители, системы линейных уравнений
- •Тема 2. Элементы аналитической геометрии
- •Тема 3. Предел функции
- •Тема 4. Производная
- •Тема 5. Исследование функции и построение графика
- •Тема 6. Неопределенный интеграл
- •Тема 7. Функция двух переменных
- •Тема 8. Числовые и степенные ряды
- •Тема 9. Дифференциальные уравнения
- •Виды дифференциальных уравнений
- •Тема 10. Элементы теории вероятностей и математическая статистика Случайные события
- •Основные формулы комбинаторики
- •Случайные величины
- •Числовые характеристики случайной величины
- •Комплексные числа
- •Тема 11. Линейное программирование
- •Контрольная работа № 1
- •Методические указания по выполнению и оформлению контрольной работы № 1
- •Контрольная работа № 2
- •Методические указания по выполнению и оформлению контрольной работы № 2
- •Формы и содержание отчетности студентов Формы отчетности студентов
- •Вопросы к зачету (1 семестр)
- •Вопросы к экзамену (2 семестр)
- •Список литературы
- •Математика
- •1 62600, Череповец, ул. Сталеваров, 44
Тема 9. Дифференциальные уравнения
Определение Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию, её производную (или дифференциал аргумента) и дифференциал функции.
Если дифференциальное уравнение содержит производную или дифференциал не выше первого порядка, то оно называется дифференциальным уравнением первого порядка.
Общий вид такого уравнения
, где – искомая неизвестная функция, – её производная по , F – заданная функция переменных .
Определение Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция у = φ(х,c) от x и произвольной постоянной С, обращающая это выражение в тождество по .
Определение Частным решением уравнения F(x,y,y')=0 называется решение полученное из общего решения при фиксированном значении С: у= φ(х,С0), где С0 – фиксированное число.
Виды дифференциальных уравнений
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменным. Общий вид такого уравнения: , где Х(х), Х1(х) – функции только от х, Y(y), Y1(y) – функции только от у.
Поделив обе части уравнения на произведение Х1(х)·Y(у) ≠ 0, получим уравнение с разделенными переменными:
Общий интеграл этого уравнения имеет вид:
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Общий вид такого уравнения где f(x) и q(x) – заданные функции от х. Это уравнение является линейным относительно искомой функции и её производной.
Если q(x) = 0, то линейное дифференциальное уравнение называется однородным.
Оно имеет вид у/ = f (x)∙y и решается методом разделения переменных:
Если = 0, то уравнение (1) принимает вид у/ = q(x) и решается методом разделения переменных:
, , где Q(x) – некоторая первообразная функции;
q(х); C – произвольная постоянная.
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Общий вид такого уравнения: где р и q – некоторые числа.
Это уравнение является однородным дифференциальным уравнением второго порядка.
Если f(x) = 0, то дифференциальное уравнение называется линейным однородным.
При решении линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка возможны три случая решения характеристического уравнения.
Таблица
Частные и общие решения однородных дифференциальных уравнений второго порядка
№ |
Корни уравнения |
Частные решения |
Общее решение |
1 |
Действительные различные (к1 ≠ к2) |
|
y = |
2 |
Действительные равные (к1 = к2) |
|
y = |
3 |
Комплексно-сопряженные (α βi) |
|
|
Тема 10. Элементы теории вероятностей и математическая статистика Случайные события
Определение Событие А называется случайным, если оно объективно может наступить или не наступить в данном испытании.
Определение (Классическое определение вероятности): Вероятностью Р(А) события А называется отношение m/n числа элементарных событий, благоприятствующих событию А, к числу всех элементарных событий, то есть Р(А) = m/n.