Основные формулы комбинаторики
Размещениями из п различных элементов по m элементов
называются
комбинации, составленные из данных п
элементов по m
элементов, которые отличаются либо
самими элементами, либо порядком
элементов.
Перестановками из п различных элементов называются размещения из этих п элементов по п.
Сочетаниями из п различных элементов по m элементов называются комбинации, составленные из данных п элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.
Случайные величины
Определение Случайной величиной называется переменная величина, которая в зависимости от исхода испытания случайно принимает одно значение из множества возможных значений.
Числовые характеристики случайной величины
Определение
Математическим
ожиданием дискретной случайной величины
Х называется сумма произведений всех
ее значений на соответствующие им
вероятности:
Определение
Дисперсией
дискретной случайной величины Х
называется математическое ожидание
квадрата ее отклонения от математического
ожидания:
Определение Математическим ожиданием) непрерывной случайной величины Х с плотностью вероятности f(x) называется величина несобственного интеграла (если он сходится).
Определение Дисперсией непрерывной случайной величины Х, математическое ожидание которой М(х) = а и функция f(x) является её плотностью вероятности, называется величина несобственного интеграла (если он сходится).
Определение
Средним
квадратичным отклонением случайной
величины Х называется арифметическое
значение корня квадратного из ее
дисперсии:
Комплексные числа
Определение
Комплексным
числом
называется
выражение вида
,
где
и
–
действительные числа, а символ
удовлетворяет
условию
Определение Два комплексных числа называются равными, если соответственно равны их действительные части и коэффициенты при мнимой единице.
Определение
Сумма комплексных чисел
и
определяется как комплексное число
.
Вычитание комплексных чисел определяется
как операция, обратная сложению:
Умножение двух комплексных чисел определяется следующим образом:
Частным
от деления комплексного
числа на число
называется комплексное число такое
,
что
,
то есть
Таким
образом, частное от деления двух
комплексных чисел вычисляется по
формуле:
.
Тригонометрическая
форма комплексного числа:
,
где
,
;
.
Показательная
форма комплексного числа:
Тема 11. Линейное программирование
Экономико-математическая модель – математическое описание исследуемого экономического процесса или объекта. К основным этапам проведения экономико-математического моделирования относятся:
Постановка цели и задачи исследования, качественное описание объекта в виде экономической модели.
2. Формирование математической модели объекта, выбор методов исследования, программирование модели на ЭВМ, подготовка исходной информации.
3. Анализ математической модели, реализованной в виде программ для ЭВМ, проведение машинных расчетов, обработка и анализ полученных результатов.
Алгоритм графического метода решения задач линейного программирования с двумя переменными
Построить область допустимых решений.
Если область допустимых решений является пустым множеством, то задача не имеет решения ввиду несовместимости системы ограничений.
Если область допустимых решений является непустым множеством, построить нормаль линий уровня и одну из линий уровня, имеющую общие точки с этой областью.
Линию уровня переместить до опорной прямой в задаче на максимум в направлении нормали, в задаче на минимум – в противоположном направлении.
Если при перемещении линии уровня по области допустимых решений в направлении, соответствующем приближению к экстремуму целевой функции, линия уровня уходит в бесконечность, то задача не имеет решения ввиду неограниченности целевой функции.
Если задача линейного программирования имеет оптимальное решение, то для его нахождения решить совместно уравнения прямых, ограничивающих область допустимых решений и имеющих общие точки с соответствующей опорной прямой. Если целевая функция задачи достигает экстремума в двух угловых точках, то задача имеет бесконечное множество решений. Оптимальным решением является любая выпуклая линейная комбинация этих точек. После нахождения оптимальных решений вычислить значение целевой функции на этих решениях.
Алгоритм решения задачи симплексным методом
Привести задачу линейного программирования к каноническому виду.
Найти начальное опорное решение с базисом из единичных векторов и коэффициенты разложений векторов условий по базису опорного решения. Если опорное решение отсутствует, задача не имеет решения ввиду несовместимости системы ограничений.
Вычислить оценки разложений векторов условий по базису опорного решения и заполнить симплексную таблицу.
Если выполняется признак единственности оптимального решения, то решение задачи заканчивается.
Если выполняется условие существования множества оптимальных решений, то путем простого перебора найти все оптимальные решения.
Если имеют место условия неограниченности целевой функции, то задача не имеет решения.
Если пункты 4 – 6 алгоритма не выполняются, найти новое опорное решение и перейти к пункту 3.