28.Ротор векторного поля

Пусть в некоторой окрестности точки  M (x, y, z)  определено векторное поле  A.        Мысленно проведем через точку  M  плоскость, перпендикулярную произвольно выбранному единичному вектору  n, и опишем в этой плоскости вокруг точки  M  замкнутый контур  ΔL .        Затем составим отношение циркуляции поля  A  по контуру  ΔL  к площади  ΔS  области, ограниченной этим контуром, и перейдем к пределу  ΔS → 0, стягивая контур  ΔL  в точку.        Полученный предел называется проекцией ротора векторного поля  A  на направление  n  и обозначается символическим выражением

      Правило согласования направления обхода контура  ΔL  с направлением нормали  n  показано на рисунке 1.

  Рис. 1. Если ручку буравчика вращать по направлению обхода контура, то направление ввинчивания буравчика указывает направление нормали.

29.Дивергенция векторного поля.

Пусть задано векторное поле 

Определение 3.7.

Дивергенцией или расходимостью векторного поля   называется скалярная функция, определяемая равенством:

На этот раз векторное поле  порождает скалярное поле div  .

С учетом понятий дивергенции и потока векторного поля формулу Остроградскогоможно представить в форме:

т. е. поток векторного поля   через замкнутую поверхность S в направлении внешней нормали равен тройному интегралу от дивергенции векторного поля по области, ограниченной этой поверхностью.

На основании формулы (3.38) можно записать:  и, переходя к пределу, стягивая V в точку М (при этом величина V → 0 ), имеем:

То есть div   есть предел отношения потока поля  через бесконечно малую замкнутую поверхность, окружающую точку М, к величине объёма, ограниченного этой поверхностью. Из этого следует, что дивергенция не зависит от выбора системы координат.

Если поток  , то в область V втекает большее количество жидкости (если следовать ранее рассмотренному примеру о течении несжимаемой жидкости), чем вытекает из неё, т.е. внутри области V имеются источники жидкости.

Если П < 0, то внутри области V есть стоки.  Но поток векторного поля характеризует интенсивность источников и стоков лишь суммарно, т.е. при П ≥ 0 внутри области V могут быть как источники, так и стоки.

Для характеристики точки можно использовать div .

Если div  > 0, то данная точка есть источник, если div  < 0  – то сток.

Заметим, что div можно записать с помощью символического вектора Гамильтона  в следующем виде:

Отметим свойства дивергенции (справедливость которых рекомендуется показать самостоятельно):

где U – скалярная функция.

Пример 3.20.

Найти div  , а также определить по формуле Остроградского поток векторного поля  = (x, y, z) через замкнутую поверхность S. Привести частные случаи.

Решение

Цилиндр с высотой Н и радиусом основания R: П = 3πR²H.  Конус с высотой Н и радиусом основания R: П = πR²H.  Сфера радиуса R: П = 4R³.

30.Формула Стокса.

Формула Стокса связывает криволинейные интегралы второго рода с поверхностными интегралами второго рода. Пусть в пространстве задана некоторая поверхность S. L - непрерывный кусочно-гладкий контур поверхность S.