8. Ду, допускающее понижение порядка.

Уравнения вида у'(н)=f(x). 

Решается интегрированием несколько раз. 

Уравнения не содержащие явно искомой функции и ее производных до порядка к-1 Включительно. Это уравнения вида F(x,y,y'(k)...y'(n))=0. 

Решение:

У'(к)=z, y'(n)=z'(n-k)

Смотри пример 1. 

Уравнение, не содержащее явно независимой переменной

Это уравнения вида F(y,y',...,y'(n))=0. Порядок таких уравнений может быть понижен на единицу с помощью замены переменных у'=р. 

9. Линейное ду высших порядков.

Линейным дифференциальным уравнением н-го порядка называется любое уравнение первой степени относительно функции у и ее производных у',...,у'(н) вида: 

p0y(n)+...+pny=f(x). 

Где p0,...,pn - функции от х или постоянные величины, причем p0!=0. 

10. Фундаментальная система лоду. Определитель Вронского.

Фундаментальной системой решений линейного однородного уравнения н-го порядка на интервале (а,b) называется всякая система линейно независимых на этом интервале решений уравнения. 

Если из функций уI составить определитель н-го порядка:

W=|y1,...,yn/.../y'(n-1)1,...,y'(n-1)n|

то этот определитель называется определителем Вронского. 

11. Теорема о структуре общего решения лоду.

Теорема:

Если функции у1, ..., ун линейно зависимы, то составленный для них определитель Вронского равен нулю. 

Теорема:

Если функции у1, ..., ун линейно независимы, то составленный для них определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке рассматриваемого интервала. 

Теорема:

Для того, чтобы система шений линейного однородного дифференциального уравнения у1,..., ун была фундаментальной необходимо и достаточно, чтобы составленный для них определитель Вронского был не равен нулю. 

Теорема:

Если у1,..., ун - фундаментальная система решений на интервале (а,b), то общее решение линейного однородного диффереенциального уравненная является линейной комбинацией этих решений:

У=С1у1+...+Снун, где Сi - постоянные коэффициенты. 

12. Линейные ду с постоянными коэффициентами.

13. Структура общего решения лоду.

Структура общего решения ДУ L(y)=0

14. Алгоритм построения общего лоду 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Алгоритм нахождения общего решения линейного однородного д. у. с постоянными коэффициентами:

1) составляем характеристическое уравнение и находим его корни

2) определяем частные решения ДУ, причем:

- а) каждому действительному корню к соответствует решение е^кх;

- б) каждому действительному корню к кратности м ставится в соответствие м линейно независимых решений: е^кх, х*е^кх,..., х^м-1 * е^кх

- в) в каждой паре комплексно-сопряженных корней а+/-б*i характеристическое уравнение ставится в соответствие два линейно-независимых решения: е^ах * cos bx и е^ах * sin bx. 

3) составим линейную комбинацию найденных решений, которая будет общим решением исходного линейного однородного ДУ с постоянными коэффициентами. 

15. Структура общего решения лоду 2-го порядка.

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка уравнение вида y" +p(x)y +q(x)=f(x), где р(х), q(x), f(x) - известные непрерывные функции, а у(x) - неизвестная искомая функция. 

Рассмотрит соответствующее ЛОДУ: у"+р(х)у+q(x)=0.