16. Подбор частного решения лнду 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Теорема:

Общее решение линейного неоднородного ДУ представляется как сумма некоторого частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего ЛОДУ, то есть у=у_+у~

ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное неоднородное ДУ второго порядка у"+р(х)у'+qy=f(x), где p, q - заданные числа. 

По теореме: у=у_+у~

У~ можно найти с помощью характеристического уравнения: к^2+рк+q=0. 

17. Метод вариации производных постоянных 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Метод неопределенных коэффициентов

Говорят, что функция f(x) имеет специальный вид: f(x)=e^al*x (Pn(x)cos bx + Qn(x)sin bx), a,b - числа, Рn, Qm - некоторые многочлены степени м и н. 

Пусть ЛНДУ имеет специальный вид. Обозначав через к1 и к2 корни характеристического уравнения к^2+кр+q=0 соответствующего однородного уравнения. Введем о=al + I*b

L=max (n,m)

Gamma={0, если o!=k1, о!=к2// 1, если либо о=к1, о!=к2, либо о!=к1, о=к2// 2, если о=к1=к2}

Число о называется контрольным числом, а число гамма есть кратность контрольного числа о как корня характеристического уравнения. 

Частное решение ЛНДУ следует искать в виде y_=x^gamma * e^al*x * (Ml (x)cos bx +Nl sin bx), где Ml, Nl - многочлены степени l с неопределенными коэффициентами. 

Коэффициенты многочленов нужно подобрать таким образом, чтобы функция являлась бы решением ЛНДУ. Для этого необходимо функциюпрродифференцировать дважды и подставить ЛНДУ. 

После этого приравнивая коэффициенты при подобных членах находящихся в разных частях, получим систему алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов многочленов М и Н. 

Решая эту систему наход искомые коэффициенты и подставив их в функцию получаем частное решение ЛНДУ. 

18. Нормальная система ду и понятие её решения.

Система дифференциальных уравнений первого порядка разрешенных относительно производных от неизвестных функций называется нормальной системой ДУ. 

Пример 1. Привести к каноническому виду систему дифференциальных уравнений

Решение. Данная система имеет третий порядок, так как и, значит, . Разрешая первое уравнение относительно , а второе относительно , получим каноническую систему

Система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка вида

(3)

где — независимая переменная; — неизвестные функции от , называется нормальной системой.

Число называется порядком нормальной системы (3). Две системы дифференциальных уравнений называются эквивалентными, если они обладают одними и теми же решениями.

Любую каноническую систему (2) можно привести к эквивалентной ей нормальной системе (3), причем порядок этих систем будет одним и тем же.

Пример 2. Привести к нормальной системе следующую систему дифференциальных уравнений:

Решение. Положим . Тогда будем иметь , и данная система приведется к следующей нормальной системе третьего порядка:

19. Общее решение системы ду.

Рассмотрим ЛНДУ второго порядка

где - заданные, непрерывные на (а;b) функции. Уравнение

левая часть которого совпадает с левой частью ЛНДУ (5.1), называется соответствующим ему однородным уравнением.

Теорема 5.1 (структура общего решения ЛНДУ). Общим решением у уравнения (5.1) является сумма его произвольного частного решения у* и общего решения соответствующего однородного уравнения (5.2), т. е.

Убедимся, что функция (5.3) - решение уравнения (5.1). Так как у* есть решение уравнения (5.1), а - решение уравнения (5.2), то

В таком случае имеем:

Это означает, что функция является решением уравнения (5.1).

Покажем теперь, что функция

является общим решением уравнения (5.1). Для этого надо доказать, что из решения (5.4) можно выделить единственное частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям

Продифференцировав функцию (5.4) и подставив начальные условия (5.5) в функцию (5.4) и ее производную, получим систему уравнений:

где у_о=у(х_о), у'₀=y'(x₀), с неизвестными c₁ и с₂. Определителем этой системы является определитель Вронского W(x₀) для функции y₁(x) и у₂(х) в точке х=х_о. Функции y₁(x) и у₂(х) линейно независимы (образуют фундаментальную систему решений), т. е. Следовательно, система имеет единственное решение: c₁=с⁰₁ и с₂=с⁰₂.

Решение является частным решением уравнения (5.1), удовлетворяющим заданным начальным условиям (5.5). Теорема доказана.