7.Векторы, операции над векторами. Векторное произведение векторов и его свойства.

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ И ЕГО СВОЙСТВА

Введем сначала понятие ориентации тройки векторов.

Пусть даны три некомпланарных вектора а,б,с с общим началом, перечисленных в определенном порядке: первый –а , второй –б , третий – с.

Тройка некомпланарных векторов а,б,с называется правоориентированной или просто правой, если из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки. В противном случае тройку векторов называют левой, в этом случае если мы будем смотреть с конца вектора с , то кратчайший поворот от а, к б, осуществляется по часовой стрелке.

Векторным произведением векторов а и б называется новый вектор с , удовлетворяющий условиям:

1.Длина вектора с, равна площади параллелограмма, построенного на векторах а и б .

2.Вектор с перпендикулярен плоскости этого параллелограмма.

3.Он направлен так, что векторы а и б образуют правую тройку векторов.

Векторное произведение векторов а и б обозначается символом а*б . Если хотя бы один из сомножителей равен нулю, то векторное произведение по определению считают равным нулю

Векторное произведение обладает следующими свойствами:

1.Из определения следует, что длина векторного произведения численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах, и, следовательно, находится по формуле:

2. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет свой знак

3. Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения, т.е. для любого числа λ и любых векторов а,б.

4. Для любых векторов имеет а,б,с место равенство

5.Векторное произведение двух векторов равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда один из сомножителей равен нулю или векторы коллинеарны.

Действительно, если векторы коллинеарны, то , т.е. площадь параллелограмма, построенного на данных векторах,равна нулю.

Таким образом, для того чтобы два ненулевых вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось нулевому вектору.

8.Орт вектора. Коллинеарность и ортогональность векторов.

Ортом вектора а называется вектор еденичной длины, имеющий то же напрвление, что и вектор а. Орт вектора можно получить, разделив вектор на его длину

В рассмотрении геометрических векторов вводится определение следующей операции.

Произведением вектора а на число альфа называется вектор а , получающийся из вектора растяжением (при модуль альфа больше 1 ) или сжатием (при модуль альфа меньше 1 ) в модуль альфа раз, причём направление вектора а сохраняется, если альфа больше 0 , и меняется на противоположное, если альфа меньше нуля.

Из определения следует, что векторы а и б = альфа а всегда расположены на одной или параллельных прямых. Такие векторы называются коллинеарными. Справедливо и обратное утверждение: если векторы а и б коллинеарны, то они связаны соотношением

(8)

Следовательно, равенство (8) выражает условие коллинеарности двух векторов.

В рассмотрении векторов, заданных в координатной форме, условие коллинеарности двух векторов (8) примет вид

или

Это векторное равенство справедливо лишь в том случае, если выполняются следующие три скалярных равенства:

или

т.е. необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является пропорциональность их соответствующих координат.

Два вектора называют ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.