- •1.Принципи моделювання соціально-економічних систем і процесів.
- •2.Сутність економіко-математичної моделі.
- •3.Необхідність використання математичного моделювання економічних процесів.
- •4.Етапи математичного моделювання.
- •5.Сутність адекватності економіко-математичних моделей.
- •6.Проблеми оцінювання адекватності моделі.
- •7.Способи перевірки адекватності екон-матем-их моделей
- •8.Поняття адаптації (а-ї) та адаптивних систем (ас)
- •10.Загальна постановка злп. Приклади екон злп
- •9.Сутність оптимізац-их моделей. Приклади екон задач матем-го програмув-я
- •11.Модель злп в розгорнутому і скороченому вигляді, в матричній і векторній формах
- •12.Властив-і розв’язків задачі лінійн-о програмув-я (злп). Геометр-а інтерпретація злп
- •13.Означення планів злп (допустимий, опорний, оптимальний).
- •14.Побудова опорного плану злп, перехід до іншого опорного плану.
- •15.Теорема про оптимальність розв’язку злп симплекс-методом.
- •16.Знаходженння розв’язку злп. Алгоритм симплексного методу.
- •17.Симплекс-метод із штучним базисом. Ознака оптимальності плану із штучним базисом.
- •19.Екон. Зміст двоїстої задачі (дз) й двоїстих оцінок.
- •36.Метод Франка-Вульфа.Алгоритм розв’язування задачі нелінійного програмування.
- •18.Двоїста задача (дз). Правила побудови дз. Симетричні й несиметричні дз.
- •32.Сідлова точка та необхідні і достатні умови її існування. Теорема Куна-Таккера
- •33.Квадратична функція та її властивості
- •34.Постановка задачі квадратичного програмування та її математична модель
- •35.Градієнтні методи(гм) розв’язання задач нелінійного програмування та їх класифікація
- •37.Матем-а постановка задачі динам-о програмув-я (дп),її екон-й зміст.Принцип оптим-сті Беллмана
- •22. Аналіз розв’язків лінійних екон-матем моделей. Оцінка рентабельності прод-ції. Доцільність введення нової продукції
- •23.Аналіз обмежень дефіцитних і недефіцитних р есурсів
- •24.Аналіз коефіцієнтів цільової ф-ції задач лінійного програм-ня
- •25.Цілочислове прогр-ня. Обл застосув-я цілочислових задач в планув-і й управл-і вир-вом
- •20.Теореми двоїстості, їх економічна інтерпретація
- •29.Графічний метод розв’язування задач нелінійного програмування.
- •21.Застосування теорем двоїстості в розв’язуванні злп
- •26.Геометрична інтерпретація задачі цілочислового програмування.
- •27.Метод Гоморі.
- •28.Постановка задачі нелінійного програмування, математична модель. Геометрична інтерпретація.
- •31.Поняття про опуклі функції. Геометрична інтерпретація задачі опуклого програмування на площині.
- •30.Метод множників Лагранжа. Теорема Лагранжа. Алгоритм розв’язування задачі на безумовний екстремум.
31.Поняття про опуклі функції. Геометрична інтерпретація задачі опуклого програмування на площині.
Нехай задано n-вимірний лінійний простір Rn. Ф-ія f(X), що задана на опуклій множині , назив-я опуклою, якщо для будь-яких 2 точок х1 та х2 з множини X і будь-яких значень виконується співвідношення:
. (1)
Якщо нерівність строга і виконується для , то ф-ія f(X) назив-я строго опуклою. Опукле програм-ня розглядає методи розв’язування ЗНП, математичні моделі яких містять опуклі або угнуті ф-ії. Загальний вигляд задачі опуклого програм-ня такий:
, , ; (2)
,
де , - угнуті функції.
Аналогічний вигляд має задача для опуклих функцій.
Позначимо: , тоді , і маємо:
, (4)
; (5)
, (6)
де , -опуклі функції.
Множина допустимих планів задачі, що визначається системою (2), є опуклою. Точка локального максимуму (мінімуму) задачі опуклого програмування (1)-(3) є одночасно її глобальним максимумом (мінімумом). Отже, якщо визначено точку локального екстремуму задачі опуклого програмування, то це означає, що знайдено точку глобального максимуму (мінімуму). У разі обмежень-нерівностей задачу опуклого програмування розв’язують, застосовуючи метод множників Лагранжа.
30.Метод множників Лагранжа. Теорема Лагранжа. Алгоритм розв’язування задачі на безумовний екстремум.
Якщо ф-ія f неперервна на проміжку [a,b], диференційована в (a,b), то знайд-ся принаймні 1 точка c є [a,b] така, що має місце формула: f’(c)=(f(b)-f(a))/(b-a). Ця формула і є формулою Лагранжа. Ідея методу множників Лагранжа полягає в заміні початкової задачі простішою. Для цього цільову ф-ію замінюють іншою, з більшою к-стю змінних, тобто такою, яка включає в себе умови, що подані як обмеж-я. Після такого перетвор-я далі розв’язув-я задачі полягає в знаходж-і екстра-у нової ф-ії, на змінні якої не накладено ніяких обмежень. Тобто від початкової задачі пошуку умовного екстремуму переходимо до задачі відшукання безумовного екстремального значення ін. ф-ії. Завдяки такому перетворенню можливе застосування методів класичного знаходження екстремуму ф-ії кількох змінних. Для розв’язування задачі необхідно знайти вирази частинних похідних нової цільової ф-ії за кожною змінною і прирівняти їх до нуля. В результаті отримаємо систему рівнянь. Її розв’язок визначає стаціонарні точки, серед яких є і шукані екстремальні значення ф-ії. Розглянемо метод множників Лагранжа для розв’язування ЗНП, що має вигляд:
(1)
за умов:
, (2)
де функції і мають бути диференц-ми. Задача (1), (2) полягає в знаходженні екстремуму ф-ії f(x) за умов виконання обмежень . Переходимо до задачі пошуку безумовного екстремуму. Замінюємо цільову ф-ію (1) на складнішу. Ця ф-ія назив-ся ф-єю Лагранжа і має такий вигляд:
(3)
де - деякі невідомі величини, що називаються множниками Лагранжа. Знайдемо частинні похідні і прирівняємо їх до нуля:
(4)
2-а група рівнянь системи (4) забезпечує виконання умов (2) початкової ЗНП. Система (4), як правило, нелінійна. Розв’язками її є і - стаціонарні точки. Оскільки, ці розв’язки отримані з необхідної умови екстремуму, то вони визначають макс, мін задачі (1), (2) або можуть бути точками перегину (сідловими). Для діагностування стаціонарних точок і визначення типу екстремуму необхідно перевірити виконання достатніх умов екстремуму, тобто дослідити в околі стаціонарних точок диференціали другого порядку. Узагальнення достатньої умови існування локального екстремуму для функції n змінних приводить до такого правила: за функцією Лагранжа виду (3) будується матриця Гессе, що має блочну структуру розмірністю (m+n)*(m+n):
де О - матриця розмірністю (m*m), що склад-ся з нульових елементів, Р - матриця розмірністю (m*n), елементи якої визначаються так:
,
P’- транспонована матриця до Р розмірністю, Q - матриця розмірністю (n*n) виду:
, де .
1. Т. Х* є точкою макс, якщо, починаючи з головного мінору порядку (m + 1), наступні (n – m) головних мінорів матриці Н утворюють знакозмінний числовий ряд, знак першого члена якого визначається множником (-1)^(m+1). 2. Т. Х* є точкою мін, якщо, починаючи з головного мінору порядку (m + 1), знак наступних (n – m) головних мінорів матриці Н визначається множником (-1)^m. У теорії дослідження ф-ій задача на відшукання екстремальних значень не містить ніяких додаткових умов щодо змінних і такі задачі належать до задач відшукання безумовного екстремуму ф-ії. Локальний та глобальний екстремуми тоді визначаються з необхідних та достатніх умов існування екстремуму функції. Для того, щоб т. була точкою локального екстремуму, необхідно, щоб ф-ія f(x1,x2) була неперервною і диференц-ою в околі цієї точки і 1-і частинні похідні за змінними x1 та x2 у цій точці =0. Т. назив-я критичною. Якщо
,
то в точці ф-ія має екстремум, причому, якщо
,
тоді це точка локального максимуму ф-ії, а якщо >0 - тоді точка лок-го мінімуму. У разі, якщо
,
то в точці екстремуму не має. Якщо це значення=0, то питання про існування екстремуму залишається відкритим.
Аналіз коефіцієнтів цільової ф-ції ЗЛП.-24
Аналіз обмежень дефіцитних і недефіцитних ресурсів.-23
Аналіз розв’язків лінійних екон-матем моделей. Оцінка рентабельності продукції. Доцільність введення нової продукції.-22
Властивості розв’язків ЗЛП. Геометрична інтерпретація ЗЛП.-12
Геометрична інтерпретація задачі цілочислового програм-ня.-26
Градієнтні методи розв’язання ЗНП та їх класифікація.-35
Графічний метод розв’язування ЗНП.-29
Двоїста задача. Правила побудови ДЗ. Симетричні й несиметричні ДЗ.-18
Екон зміст двоїстої задачі й двоїстих оцінок.-19
Етапи математ моделювання.-4
Загальна постановка ЗЛП. Приклади екон ЗЛП.-10
Застосування теорем двоїстості в розв’язуванні ЗЛП.-21
Знаходження розв’язку ЗЛП. Алгоритм симплексного методу.-16
Квадратична ф-ція та її властивості.-33
Матем постановка задачі динамічного програм-ня, її екон зміст. Принцип оптимальності Беллмана.-37
Метод Гоморі.-27
Метод множників Лагранжа. Теорема Лагранжа. Алгоритм розв’язування задачі на безумовний екстремум.-30
Метод Франка-Вульфа. Алгоритм розв’язування ЗНП.-36
Модель ЗЛП в розгорнутому і скороченому вигляді, а також в матричній і векторній формах.-11
Необхідність використання матем моделювання екон процесів.-3
Означення планів ЗЛП (допустимий, опорний, оптим).-13
Побудова опорного плану ЗЛП, перехід до ін опорного плану.-14
Поняття адаптації та адаптивних систем.-8
Поняття про опуклі ф-ції. Геометрична інтерпретація задачі опуклого програм-ня на площині.-31
Постановка задачі квадратичного програм-ня та її матем модель.-34
Постановка ЗНП, матем модель. Геометрична інтерпретація.-28
Принципи модел-ня соц-екон систем і процесів.-1
Проблеми оцінювання адекватності моделі.-6
Симплексний метод із штучним базисом. Ознака оптимальності плану із штучним базисом.-17
Сідлова точка та необхідні і достатні умови її існування. Теорема Куна-Таккера.-32
Способи перевірки адекватності екон-матем моделей.-7
Сутність адекватності екон-математ моделей.-5
Сутність екон-математ моделі.-2
Сутність оптимізаційних моделей. Приклади екон задач математ програм-ня.-9
Теорема про оптимальність розв’язку ЗЛП симплекс-методом.-15
Теореми двоїстості, їх екон інтерпретація.-20
Цілочислове програмування. Область застосування цілочислових задач в плануванні й управлінні вир-вом.-25