29.Графічний метод розв’язування задач нелінійного програмування.

Якщо матем-а модель задачі можна представити графічно, то для знаходж-я оптим-го розв’язку можна використати графічний метод розв’яз-я. Розглянемо приклад геометр-го способу розв’язув-я ЗНП. Знайти мін і макс значення ф-ії:

за умов:

.

Розв’яз-я. Область допустимих розв’язків утворює чотирикутник АВСD (рис. 8.1). Геометрично цільова ф-ія являє собою коло з центром у т. М (2; 2), квадрат радіуса якого R^2=z. Це означає, що її значення буде збільшуватися (зменшуватися) зі збільшенням (зменшенням) радіуса кола. Проведемо з т. М кола різних радіусів. Функція Z має 2 локальних максимуми: т. В (0; 6) і С (8; 0). Обчислимо значення функціонала в цих точках:

,

.

Оскільки Z(C)>Z(B), то т.С (8; 0) є точкою глобального максимуму. Очевидно, що найменший радіус R=0, тоді: . Тобто т. М є точкою мінімуму, оскільки їй відповідає найменше можливе значення цільової ф-ії. Зазначимо, що в даному разі точка, яка відповідає оптим-му плану задачі (мінім-му значенню функціонала), знаходиться всередині багатокутника допустимих розв’язків, що в ЗЛП неможливо.

21.Застосування теорем двоїстості в розв’язуванні злп

І т-ма: Якщо одна із спряжених задач має розв’язок то друга задача теж має розв’язок і знач-я цієї ф-ції співпадатимуть. Х^*=(x^*₁,x^*₂,x^*₃…x^*_n);Y^*=(y^*₁,y^*₂,y^*₃…y^*_n); F_max=F(x^*)=>Z_min=Z(y^*);Fmax=Zmin; Max прибуток F підпр-во має від реалізації оптим плану х*, однак ту ж суму він отримає від продажу ресурсів за оптим. Цінами у*. ІІ т-ма: При підстановці оптим плану х^* в і-те обмеж-я прямої задачі можна отримати 2 варіанти оцінки ресурсів, якщо маємо знак (=), то ресурс викор-ся повністю, він є дефіцитним тобто цінним, його треба поповнювати, його двоїста оцінка є додатнім числом. ІІІ т-ма: Компоненти оптим плану Y*i дають оцінку дефіцитних і недефіц-их ресурсів, а кожне додатнє знач-я двоїстої оцінки характер-є приріст цільової ф-ції F, зумовлю-ий малими змінами на одиницю відповідного запасу дефіцитних ресурсів. В симплекс таблиці знач-я двоїстих оцінок знаходь в останньому перевірочному рядку навпроти баз. змінних прямої задачі.

26.Геометрична інтерпретація задачі цілочислового програмування.

Для знаходження оптим-го розв’язку цілочислових задач застосовують спец. методи. Найпростішим з них є знаходження оптим-го розв’язку задачі як такої, що має лише неперервні змінні, з подальшим їх округленням. Такий підхід є виправданим тоді, коли змінні в оптимальному плані набувають досить великих значень у зіставленні їх з одиницями вимірювання. Проте за деяких умов такі округлення призводять до істотних неточностей. Скажімо, множина допустимих розв’язків деякої нецілочислової ЗЛП має вигляд, зображений на рис. 6.1: Макс. значення функціонала для даної задачі знаходиться в точці В. Округлення дасть таке значення оптимального плану х1=3;х2=3 (точка D на рис. 6.1). Очевидно, що т. D не може бути розв’язком задачі, оскільки вона не належить множині допустимих розв’язків (площ. ОАВС), тобто відповідні значення змінних не задовольнятимуть систему обмежень задачі. Зауважимо, що геометрично множина допустимих планів будь-якої лінійної цілочислової задачі являє собою систему точок з цілочисловими координатами, що знаходяться всередині опуклого багатокутника допустимих розв’язків відповідної нецілочислової задачі. Отже, для розглянутого на рис. 6.1 випадку множина допустимих планів складається з 9 точок (рис. 6.2), які утворені перетинами сім’ї прямих, що паралельні осям Ох1 та Oх2 і проходять через точки з цілими координатами 0, 1, 2. Для знаходження цілочислового оптимального розв’язку пряму, що відповідає цільовій функції, пересуваємо у напрямку вектора нормалі N до перетину з кутовою точкою утвореної цілочислової сітки. Координати цієї точки і є оптим-им цілочисловим розв’язком задачі. У прикладі оптим-ий цілочисловий розв’язок відповідає т.М (х1=2;х2=2). Особливість геометричної інтерпретації цілочислової задачі у зіставленні зі звичайною ЗЛП полягає лише у визначенні множини допустимих розв’язків. Областю допустимих розв’язків загальної ЗЛП є опуклий багатогранник, а вимога цілочисловості розв’язку приводить до такої множини допустимих розв’язків, яка є дискретною і утворюється тільки з окремих точок. Якщо у разі 2 змінних розв’язок задачі можна відшукати графічним методом, тобто, використовуючи цілочислову сітку, можна досить просто знайти оптим-ий план, то в ін. разі необхідно застосовувати спец. методи.