Теорема 4
Если
,
то
.
Доказательство
Чтобы доказать равенство двух множеств,
надо доказать, что они состоят из одних
и тех же наборов. Возьмем набор
,
значит
,
следовательно,
.
По определению дизъюнкции
или
,
то есть
или
,
а это и означает, что
.
Теперь докажем в другую сторону. Пусть . По определению объединения множеств или , то есть или , а это и значит, что , следовательно, .
Теорема доказана.
Определение 5
Дизъюнктивная нормальная форма называется совершенной (СДНФ), если все составляющие ее элементарные конъюнкции являются полными.
Примеры
Пусть
.
1.
;
2.
;
3.
;
4.
.
Вторая и четвертая ДНФ являются СДНФ, а первая и третья – нет.
Теорема 6
Пусть
–
высказывание, не являющееся тождественно
ложным, то есть
,тогда
Доказательство
Пусть
,
где
.
Рассмотрим высказывание
Каждое такое высказывание является
полной элементарной конъюнкцией, у
которой в таблице истинности находится
одна 1 на наборе
,
то есть
,
следовательно,
По теореме 4
то есть
Эта теорема и отвечает на вопрос, как по таблице истинности строится высказывание.
Пример
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Полученную СДНФ можно упростить, приведя ее к более простой ДНФ:
§6. Приложение алгебры высказываний к исследованию электрических двухполюсников
Приложение логики к электрическим схемам основано на нескольких простых соглашениях.
1. Если по цепи С идет ток, то мы будем писать С=1; если же по С ток не идет, то С=0.
2. Если цепь С состоит из двух последовательно подключенных переключателей А и В, то по С идет ток в том и только в том случае, когда включены А и В, то есть С=1 тогда и только тогда, когда А=1 и В=1:
Но теми же свойствами обладает конъюнкция, поэтому говорят, что последовательное соединение переключателей описывается конъюнкцией:
.
3. Аналогично параллельное соединение переключателей моделируется дизъюнкцией:
4. Через обозначается переключатель, который включен в том и только в том случае, когда переключатель А выключен.
Не давая строгого определения, что такое параллельно-последовательный двухполюсник, приведем пример такого объекта:
Опишем данный двухполюсник формулой алгебры высказываний:
Упростив высказывание F, мы построим схему, соответствующую этому более простому высказыванию. Построенная схема будет функционировать так же, как и исходная, но будет устроена, как мы увидим, более просто:
Таким образом, исходная схема равносильна схеме:
Как видите – эффективный пример, показывающий возможные аспекты приложения алгебры высказываний. Оказывается, полученные результаты позволяют исследовать и упрощать не только параллельно-последовательные, но и произвольные двухполюсники.
Пример
Дан двухполюсник.
Обозначим предложенную сеть символом S(A, B, C).
1. Положим, A=0,
B=0, C=0.
Непосредственно видно, что нет пути из
М в N,
проходящего по ребрам
,
поэтому S(0,0,0)=0.
2. Положим, A=0, B=0, C=1. Проверка показывает, что нет пути из М в N по ребрам , поэтому S(0,0,1)=0.
3. а=0, в=1, с=0.
Есть путь из М
в N. Условно
его можно обозначить так:
.
Поэтому S(0,1,0)=1.
4. а=0, в=1, с=1.
Есть путь из М
в N:
.
Поэтому S(0,1,1)=1.
5. а=1, в=0, с=0. Нет пути из М в N, то есть S (1, 0, 0)=0.
6. а=1, в=0, с=1. S(1, 0, 1)=0.
7. а=1, в=1, с=0. S (1, 1, 0)=0.
8. а=1, в=1, с=1. S (1, 1, 1)=0.
Сети S соответствует таблица истинности:
A |
B |
C |
S |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
.
То есть исходная сеть S
равносильна следующей:
И, в заключение, рассмотрим пример на голосование. Имеется комиссия, состоящая из четырех человек a, b, c, d. а – председатель комиссии. Предложение считается принятым, если за него проголосовало большинство, но председатель обладает следующим преимуществом: если он проголосовал "против", то предложение не принимается, если проголосовал "за", то достаточно, чтобы еще кто-то один поддержал это предложение. Сконструировать схему, в которой сигнал бы зажигался, если предложение принято, и не зажигался в противном случае. Обозначим эту схему через F(a, b, c, d) и построим для нее таблицу истинности:
A |
B |
C |
D |
F |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Значит,
.
Строим схему голосования:
ГЛАВА II Введение в теорию множеств
§1. Основные определения, терминология
Понятие множества
Под множеством А мы понимаем совокупность объектов произвольной природы, объединенных общим свойством Р(х).
Обозначение
.
Читается:
"А есть множество х, таких, что Р(х)".
Пример 1
.
Легко заметить, что множество состоит из двух чисел – 1 и 2.
Пример 2
.
C есть множество всех натуральных чисел. Это множество, как мы уже знаем, обозначается буквой N.
Если х входит в А, то мы говорим, что х есть элемент множества А и обозначаем это так:
.
В противном случае мы говорим, что х не является элементом множества А и пишем:
или
.
Последнее обозначение подчеркивает тот факт, что высказывание " " является отрицанием высказывания " ".
Определение 1
Множество А
называется подмножеством В,
если для любого х
(
).
Обозначение:
.
Другими словами, символ "
"
есть сокращение для высказывания
.
Теорема 2
Для любых множеств А, В, С верно следующее:
а)
;
б)
и
.
Доказательство
Для доказательства а) надо убедиться в
истинности высказывания
,
но оно очевидным образом истинно, так
как представляет собой импликацию, в
которой посылка и заключение совпадают.
Для доказательства б) надо убедится в
истинности высказывания "
".
Обозначим: "
"
через U,
"
"
через V,
"
"
через Z.
Тогда надо убедиться в истинности
высказывания
.
Упростим это высказывание:
Конечно, теорема 2 интуитивно очевидна, но если мы, кроме очевидности, стремимся еще и к строгости, то приходится проделывать непростые логические вычисления. Эта теорема является неплохим упражнением по алгебре высказываний.