Пример 1
Доказать, что
. (1)
Доказательство
Метод математической индукции будем оформлять по следующей схеме.
1. Базис индукции: проверим равенство
при
.
Левая часть (ЛЧ)=1,
правая часть (ПЧ)=
.
Равенство при
,
то есть базис индукции, выполняется.
2. Индуктивное предположение: допустим, равенство (1) верно при , то есть допустим, что
. (2)
3. Индуктивный переход: докажем
равенство (1)
при
,
то есть докажем, что
.
В самом деле,
.
Здесь мы применили индуктивное
предположение. Далее
,
что и требовалось доказать.
На основании ММИ равенство (1)
верно при любом
.
Символом
обозначается произведение
,
где
.
Например,
.
По определению полагают
.
Пример 2
Доказать, что для любого
. (3)
Доказательство
1. Базис индукции: проверим утверждение
(3) при
.
ЛЧ=
,
ПЧ=
.
Базис индукции доказан.
2. Индуктивное утверждение: допустим,
(3) верно при
,
то есть допустим:
. (4)
3. Индуктивный переход: докажем (3)
при
,
используя (4),
то есть докажем, что
.
В самом деле,
.
Пример 3
Доказать, что для любого
делится на 9. (5)
Доказательство
1. Базис индукции: проверим (5) при . ЛЧ=4+15-1=18 делится на 9.
2. Индуктивное предположение:
допустим, (5)
выполняется при
,
то есть
делится на 9.
(6)
3. Индуктивный переход: докажем (5)
при
,
используя (6),
то есть докажем, что
делится на 9.
.
Первая скобка делится на 9
по индуктивному предположению. Осталось
доказать, что второй слагаемый делится
на 9, то есть
надо доказать, что
делится на 3.
Это утверждение мы будем доказывать
методом математической индукции, то
есть нам придется применять "индукцию
в индукции". При m=1
4+5=9
делится на 3.
Допустим,
делится на 3.
Докажем, что
делится на 3,
но
.
Первый слагаемый делится на три по
индуктивному предположению, а второе –
очевидно. Таким образом, мы доказали,
что
делится на 3,
а вместе с этим, что
делится на 9.
Теперь сформулируем несколько утверждений, эквивалентных ММИ.
Теорема 2
Пусть множество
обладает следующими свойствами.
1.
.
2. Для любого
,
если
,
то
.
Тогда
.
Теорема 3 (возвратный ММИ)
Пусть свойство Р(n)
выполняется при n=1
и из того, что оно верно для любого
,
следует, что Р
верно при n.
Тогда Р
верно при любом натуральном n.
И последнее. Индуктивный процесс не обязан начинаться с 1. В качестве базиса индукции может выступать любое целое число a.
Теорема 4
Пусть свойство P(n)
выполняется при n=a
и из истинности его для любого
следует истинность для k+1.
Тогда P(n)
истинно для любого целого
.
§2. Доказательство неравенств ММИ. Неравенство Коши
Пример 1
для любого
.
Доказательство
При n=1
неравенство очевидно: 2>1.
Допустим,
.
Докажем, что
.
В самом деле,
,
так как
по индуктивному предположению и
–
очевидное неравенство.
Пример 2
для любого натурального
.
Доказательство
При n=5
получаем верное неравенство 32>25.
Допустим, неравенство верно при
,
то есть
.
Докажем, что
.
Это неравенство равносильно
.
Если мы докажем, что
,
то будет доказано и исходное неравенство.
Неравенство
доказываем индукцией (индукция в
индукции). При
имеем верное неравенство
.
Допустим, неравенство верно при
,
то есть
.
Докажем при
,
то есть докажем, что
или
.
Очевидно, что это неравенство верно в
силу индуктивного предположения.
Теорема 1 (неравенство Коши-Буняковского)
Для любых чисел
.
Доказательство
При
неравенство
верно. Допустим,
.
Докажем, что
.
Перепишем это неравенство, частично раскрыв скобки:
.
Легко заметить, что для того, чтобы доказать это неравенство, достаточно доказать
Перенеся все слагаемые в одну сторону, и сгруппировав их, получаем очевидное неравенство:
А это и доказывает неравенство Коши-Буняковского.
Определение 2
1. Число
называется средним арифметическим
чисел
.
2. Если
,
то число
называется средним геометрическим
чисел
.
Теорема 3 (неравенство Коши)
Пусть , тогда
.
(1)
Доказательство
Шаг первый: сначала индукцией докажем
это неравенство для натуральных чисел
вида
.
При m=1
надо доказать, что
.
Это неравенство эквивалентно
,
то есть
.
Последнее неравенство верно, значит, и
первоначальное верно, так как они
равносильны. Допустим, неравенство
верно при m=k,
то есть
. (2)
Докажем неравенство (1) для m=k+1, то есть докажем, что
.
В самом деле,
.
Итак, мы доказали неравенство Коши, когда количество чисел в средних есть степень двойки. А как быть с остальными? Для них мы докажем неравенство Коши, используя еще одну модификацию индукции – "индукцию вниз". Допустим, что неравенство Коши верно для n=k, то есть допустим, что
,
(3) и докажем
это неравенство для n=k-1.
Для этого в неравенстве Коши положим
,
тогда (3) будет
иметь вид:
После элементарных алгебраических преобразований получили:
.
Сократим неравенство на второй множитель правой части:
.
И, наконец, возведем обе части неравенства
в степень
:
.
Неравенство Коши доказано полностью.