Определение 1

Высказывание "неверно, что А" называется отрицанием А и обозначается (или , или ). Задается действие отрицания с помощью таблицы истинности:

0	1
1	0

2. Из высказываний А, В можно образовать высказывание "А и В". Например, "2·2=4 и 5+3=9"

Определение 2

Высказывание "А и В" называется конъюнкцией высказываний А и В. Конъюнкция имеет много обозначений: , , , .

Конъюнкция задается с помощью таблицы истинности:

0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Поскольку результат конъюнкции похож на результат обычного умножения чисел 0 и 1, эту операцию часто называют логическим умножением.

3. Из высказываний А, В можно образовать высказывание "А или В". Например, "2·2=4 или 5+3=9".

Определение 3

Высказывание "А или В" называется дизъюнкцией высказываний А и В и обозначается .

Дизъюнкция задается с помощью таблицы истинности:

0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Дизъюнкцию иногда называют логическим сложением, но здесь аналогия "портится" четвертой строчкой.

4. Из высказываний А, В можно образовать следующее высказывание: "А тогда и только тогда, когда В". Например, треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда все его углы равны между собой. Синонимами служат фразы: "А в том и только в том случае, когда В", "А необходимо и достаточно для того, чтобы выполнялось В", "А равносильно В", "А эквивалентно B".

Определение 4

Высказывание "А равносильно В" называется эквивалентностью высказываний А и В и обозначается , , .

Эквивалентность задается таблицей истинности:

0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

5. И, в заключение, определим, пожалуй, самую интересную и самую главную логическую операцию. Из высказываний А и В можно образовать высказывание "если А, то В". Например, если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой. Синонимами служат следующие фразы: "из А следует В", "В является следствием А", "А влечет В", "А достаточное условие для В", "В необходимое условие для А" и т.п.

Определение 5

Высказывание "если А, то В" называется импликацией высказываний А и В и обозначается , . В этой ситуации высказывание А называется посылкой, а В – заключением. Задается импликация таблицей истинности:

0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Сделаем два замечания, которые могут прояснить суть определения таблицы истинности для импликации и, возможно, помогут получше ее запомнить:

1) если посылка ложна, то импликация всегда истинна, независимо от заключения, то есть ;

2) если заключение истинно, то импликация также истинна, независимо от посылки, то есть .

Приведем пример высказывания и вычислим все возможные значения его истинности, в зависимости от значений истинности составляющих его простых высказываний и запишем все полученные данные в таблицу истинности.

Пусть .

Составим таблицу истинности:

A	B	C	F
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	1
0	1	1	1
1	0	0	1
1	0	1	0
1	1	0	1
1	1	1	0

Вопросы

1) Все ли значения истинности А, В, С мы перебрали?

2) Почему эти наборы истинности мы расположили именно в таком порядке, а не в каком-то другом?

3) Что такое таблица истинности?

На все эти вопросы мы ответим в следующем параграфе, но было бы неплохо подумать самостоятельно.

§2. Определение высказывания. Таблица истинности для высказываний

В этом параграфе мы дадим точное определение высказывания, реализуя ту идею, что высказывание есть выражение, полученное из простейших высказываний с помощью логических операций. Определим также понятие таблицы истинности и приведем несколько примеров построения таблиц истинности.

Определение 1

Переменная А, принимающая два значения – 0 или 1, называется логической (или булевой) переменной.

Обозначаться логические переменные будут заглавными латинскими буквами с индексами или без них: .

Определение 2 (индуктивное определение высказывания)

1. Каждая логическая переменная является высказыванием. Такие высказывания мы будем называть простейшими.

2. Если А и В – высказывания, то  – тоже высказывания.

3. Других нет.

Задача

Подумайте, какова роль третьего пункта определения.

Приведем примеры выражений, некоторые из которых являются высказываниями, а некоторые – нет. Прежде чем прочитать ответы, подумайте сами.

Первое "высказывание" таковым не является, так как здесь не хватает скобок, а если мы внимательно прочитаем п. 2 определения, то заметим, что каждая операция требует пары скобок – открывающей и закрывающей. Из этого выражения можно сделать два высказывания: и , которые существенно отличаются друг от друга, как мы увидим чуть позже. Второе выражение высказыванием является. Третье выражение высказываем является. Казалось бы, это не так – нет скобок для импликации, но здесь в качестве "скобок" служит отрицание. Четвертое выражение высказыванием не является, оно станет таковым, если поставить внешние скобки: . Наконец, пятое выражение высказыванием является. Этими примерами хотелось бы подчеркнуть два обстоятельства:

1) роль скобок – они играют большую роль при правильном построении высказываний и указывают порядок выполнения этих операций (так же, как в арифметике и алгебре);

2) если правильно расставить все скобки, то высказывания становятся весьма громоздкими и трудночитаемыми. Для того, чтобы устранить эту "неприятность", принято соглашение о силе "связывания" логических операций.

Соглашение 1

Если высказывание сконструировано из однотипных операций, то они выполняются в порядке их следования. К примеру, .

Соглашение 2

Внешние скобки не ставятся. Значит выражения или являются высказываниями.

Соглашение 3

Конъюнкция связывает сильнее, чем дизъюнкция, то есть .

Соглашение 4

Дизъюнкция связывает сильнее, чем импликация, то есть .

Соглашение 5

Импликация связывает сильнее, чем эквивалентность, то есть .

Эта серия соглашений позволяет выписывать многие высказывания вообще без скобок. Они восстанавливаются однозначно.

Пример

Тем не менее, в дальнейшем мы будем придерживаться принципа "разумной достаточности". То есть мы будем ставить скобок столько, чтобы выражение легко прочитывалось, но не так много, чтобы запутаться в них. В каждом конкретном случае будет ясно, что мы понимаем под принципом разумной достаточности.

Если высказывание F построено из логических переменных , то мы будем обозначать это так: .

Первая основная задача, которая здесь возникает, это вычислить значения истинности F, когда переменным придаются конкретные значения . В этом случае мы пишем: значение равно , где принимают значения 0 или 1. Пример был приведен в §1, поэтому сейчас мы поставим вопрос другой – на каком количестве наборов вообще надо считать значения . Другими словами – сколько существует наборов длины n из 0 и 1.