Решение

 – ДНФ.

Отметим, что доказательство теоремы носит конструктивный характер. В нем указана последовательность действий (алгоритм), которые необходимо производить с высказыванием, чтобы привести его к ДНФ:

1) используя формулы , , избавляемся в от импликаций и эквивалентностей;

2) используя законы Моргана и закон двойного отрицания, добиваемся того, чтобы отрицания находились лишь над логическими переменными;

3) используя дистрибутивные законы, "раскрываем" скобки и приводим высказывание к ДНФ;

4) используя законы противоречия и исключенного третьего, а также логические тождества, содержащие константы, на каждом этапе и в конце максимально упрощаем получающиеся выражения.

Пример

Привести к ДНФ высказывание

.

Решение

Замечание

Вводя понятие элементарной дизъюнкции, конъюнктивной нормальной формы, можно построить аналогичную теорию для КНФ. Читателю, склонному к самостоятельным изысканиям, предлагаем развить эту теорию самостоятельно.

§5. Построение высказываний по таблице истинности. Совершенные дизъюнктивные нормальные формы (СДНФ)

Самая первая задача, которую мы научились решать, изучая алгебру высказываний, – это построение по высказыванию его таблицы истинности. Можно ли решить обратную задачу – построить высказывание по таблице истинности?

Определение 1

Пусть  – некоторое множество логических переменных. Элементарная конъюнкция, в которую входят все логические переменные, называется полной элементарной конъюнкцией относительно множества .

Пример

Пусть . Рассмотрим элементарные конъюнкции: . Лишь третья, пятая, шестая элементарные конъюнкции являются полными относительно .

Утверждение 2

Пусть  – полная элементарная конъюнкция относительно множества . Тогда содержит в таблице истинности лишь одну единицу, причем на наборе . И наоборот, если в таблице истинности высказывания имеется лишь одна единица на наборе , то является полной элементарной конъюнкцией, причем .

Доказательство

Вспомним соотношение: в том и только в том случае, когда . Итак, пусть , отсюда следует, что для любого , а это значит, что . Итак, мы доказали, что полная элементарная конъюнкция равна 1 лишь на одном наборе .

Докажем в другую сторону. Пусть лишь при одном наборе значений , но по доказанному выше этим же свойством обладает полная элементарная конъюнкция , значит

Утверждение доказано.

Определение 3

Пусть  – высказывание. Обозначим через множество всех наборов , на которых . называется множеством истинности высказывания . Можно записать:

.

Пример

Пусть .

Составим таблицу истинности для :

0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	0
0	1	1	0
1	0	0	1
1	0	1	1
1	1	0	0
1	1	1	1

Значит, .

Отметим, что множество полностью определяет таблицу истинности для высказывания , так как на остальных наборах, не входящих в , .