- •Вопрос 2. Аксиоматическое определение вероятности. Классическое, статистическое, геометрическое определение вероятности события.
- •Вопрос 3. Свойства вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Независимые события. Условная вероятность. Вероятность наступления хотя бы одного из событий.
- •Вопрос 4. Формула полной вероятности. Формула Байеса (вероятности гипотез).
- •Вопрос 5. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Полиномиальная формула. Наивероятнейшее число появлений события в независимых испытаниях.
- •Вопрос 7. Применение интегральной теоремы Муавра-Лапласса. Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.
- •Вопрос 8. Дискретные случайные величины (дсв). Закон распределения вероятностей дсв. Многоугольник распределения. Функция распределения дсв. Основные законы распределения дсв (6 законов).
- •Вопрос 9. Числовые характеристики дсв. Основные законы распределения дсв. Числовые характеристики для основных законов.
- •Вопрос 12. Числовые характеристики нсв.
- •Вопрос 13. Равномерный закон распределения нсв. Интегральная и дифференциальная функции и их графики. Числовые характеристики. Вероятность попадания в заданный интервал.
- •Вопрос 14. Показательный закон распределения нсв. Интегральная и дифференциальная функции и их графики. Числовые характеристики. Вероятность попадания в заданный интервал.
- •Вопрос 16. Закон распределения функции от случайной величины. Нахождение плотности вероятности, математического ожидания, дисперсии.
- •Вопрос 17. Система двух случайных величин. Закон распределения двумерной дсв. Законы распределения составляющих. Условные законы распределения составляющих двумерной дсв.
- •Вопрос 18. Двумерная нсв. Интегральная функция. Дифференциальная функция и условная дифференциальная функция. Вероятность попадания в область.
- •Вопрос 20. Специальные законы распределения.Χ2 - распределение Пирсона. T – распределение Стьюдента. F – распределение Фишера-Снекедора.
Вопрос 16. Закон распределения функции от случайной величины. Нахождение плотности вероятности, математического ожидания, дисперсии.
Дифференциальная функция распределения (плотность вероятности) где F(x) - интегральная функция; свойства:1. ;
2. ,3. , 4. .
Пусть непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения f(x). Допустим, что все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку [a,b]. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называется определенный интеграл Если возможные значения случайной величины рассматриваются на всей числовой оси, то математическое ожидание находится по формуле: Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения.
По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины, для практического вычисления дисперсии используется формула:
Задать СВ можно с помощью функции распределения. F(х)=Р(Х<х). функцией распределения СВ Х назю функция F(х), выражающего для каждого вероятность того, что СВ Х примет какое-нибудь значение, меньше х. св-ва: 1. это неубывающая функция, в границах от 0 до 1 (включительно). 2. вероятность того, что СВ попадет в интервал Р(х1≤Х≤х2)= F(х2)- F(х1)=приращению функции распределения. 3. (для непрерывной СВ) х2-х1=∆х (приращение аргумента) ∆х→0, ∆ F→0, Р(х2=х1)=0. если СВ непрерывна, то вероятность того, что она примет конкретное значение=0. 4. СВ дискретная, F(х) постоянная на промежутках где нет значений СВ, а в точках, где есть знач. Функция имеет скачки и величина скачков=вероятности, что СВ примет это значение.
Вопрос 17. Система двух случайных величин. Закон распределения двумерной дсв. Законы распределения составляющих. Условные законы распределения составляющих двумерной дсв.
О чень часто результат испытания характеризуются не одной СВ, а некоторой системой СВ Х1,Х2,…Хn, которую называют также многомерной (n-мерной)
yj хi |
y1 |
… |
yj |
… |
ym |
∑ j=1 |
x1 |
P11 |
… |
p1j |
… |
P1m |
P1 |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
xi |
Pi1 |
… |
pij |
… |
pim |
pi |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
xn |
Pn1 |
… |
pnj |
… |
pnm |
pn |
m ∑ |
P1 |
… |
pj |
… |
pm |
1 |
Законом распределения дискретной двумерной случайной величины называют перечень возможных значений этой величины, т.е. пар чисел (xi, yj) и их вероятностей P(xi, yj).
y/x |
x1 |
x2 |
… |
xn |
y1 |
p(x1, y1) |
p(x2, y1) |
… |
p(xn, y1) |
y2 |
p(x1, y2) |
p(x2, y2) |
… |
p(xn, y2) |
… |
… |
… |
… |
… |
ym |
p(x1, ym) |
p(x2, ym) |
… |
p(xn, ym) |
З ная закон распределения двумерной дискретной случ величины, можно найти законы распределения каждой из составляющих. Например: События (X=x1, Y=y1)…(X=x1, Y=Ym) – несовместны, поэтому вероятность P(x1) того, что Х примет значение х1, по теореме сложения такова: P(x1)=p(x1, y1)+…+p(x1, ym). Т.о. вероятность того, что Х примет значение xi, равна сумме вероятностей «столбца хi». Аналогично, сложив «строки Yj», получим вероятность P(Y=yj).
Распределение одной случайной величины, входящей в систему, найденное при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение, называется условным законом распределения. Условный закон распределения можно задавать как функцией распределения так и плотностью распределения.Условная плотность распределения вычисляется по формулам:
, Условная плотность распределения обладает всеми свойствами плотности распределения одной случайной величины.