41_1_Econometrics_Polyansky__Part_1
.pdfПолянский Ю.Н.
Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.
ГЛАВА 1. ПАРНАЯ ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ
1.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Парная линейная регрессионная модель с пространственной вы-
боркой – наиболее простой вид эконометрической модели, в которой рас-
сматривается зависимость объясняемой переменной Y только от одной объясняющей переменной X (поэтому модель называется парной), причём эта зависимость линейная. Спецификация модели (0.3) в этом случае
y =a +bx +ε .
|
|
|
|
(1.1) |
|
Пусть имеем результаты экс- |
|
||||
перимента - |
выборку объемом |
n из |
|
||
генеральной совокупности, |
т.е. n |
|
|||
пар значений |
( xi , yi ) (рис.1.1). |
|
|
||
Задача: |
найти для них уравне- |
|
|||
ние прямой линии, от которой разброс |
|
||||
наблюдаемых значений в целом |
ми- |
|
|||
нимален. Как будет показано ниже, |
|
||||
для данной |
выборки |
уравнение |
Рис. 1.1 |
||
ˆy =aˆ +bx |
может быть |
|
|
. |
|
ˆ |
получено |
|
|||
|
|
|
|
|
Однако в различных выборках даже из одной генеральной совокупности и |
|||||||||||
даже одного объема n набор пар |
( xi |
, yi |
), как правило, неодинаков. В ре- |
||||||||
зультате несколько различны |
a |
и |
b |
|
и, |
соответственно, |
несколько иные |
||||
|
ˆ |
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
оценки ошибок – остатки ei . |
|
в конкретной серии наблюдений имеем |
|||||||||
Т.о. |
|||||||||||
конкретное уравнение |
= |
|
+ |
|
|
= |
|
+ ˆ |
+ |
|
|
y |
ˆ |
e |
ˆ |
e . |
(1.1') |
||||||
|
y |
|
|
a |
bx |
|
1.1.1. Метод наименьших квадратов
Наиболее часто для нахождения оценок коэффициентов регрессии применяется (например, [16]) метод наименьших квадратов (МНК), ре-
шающий задачу ∑n ( yi − ˆyi )2 → min . Характеристики оценок, получае-
i =1
мых по данному методу, следуют из теоремы Гаусса-Маркова.
! Теорема Гаусса-Маркова.
В предположениях (0.3)…(0.8) для парной линейной регрессионной мо- дели (1.1) с пространственной выборкой оценки коэффициентов регрессии aˆ и ˆ , полученные методом наименьших квадратов, имеют наименьшую
b
дисперсию в классе всех линейных несмещенных оценок.
Полянский Ю.Н. Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.
Общий смысл: оценки коэффициентов линейной регрессии aˆ и ˆ , по- b
лученные методом наименьших квадратов, являются в определенном смыс- ле «наилучшими» из всех оценок.
На практике невозможно определить сами ошибки ε i , в расчетах име-
ем дело с их оценками, называемыми остатками ei , полученными для дан- ной конкретной выборки. Задача состоит в получении таких оценок коэф-
фициентов уравнения регрессии a и b , чтобы ∑ei |
|
min . |
|||
ˆ |
ˆ |
n |
2 |
→ |
|
i =1
Остатки представляют собой взятые с соответствующим знаком раз- ности экспериментальных yi и оценочных ˆyi («практических» и «теорети- ческих») значений объясняемой переменной. Имеем функционал
|
|
|
|
|
|
F = ∑n |
ei 2 = ∑n |
( yi − yˆ i )2 . |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i =1 |
|
|
|
i =1 |
|
|
|
a |
bx , то F фактически яв- |
||||||
Т.к. ищется уравнение прямой линии y |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
= ˆ |
+ ˆ |
|
|
|
|
|
ляется функцией двух переменных - оценок коэффициентов a и b : |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
n |
|
|
|
|
ˆ |
)) |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
F ( aˆ , b ) = ∑( yi − ( aˆ + bxi |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как известно [13], необходимое условие экстремума гладкой функции |
||||||||||||||||||||||
двух переменных - одновременное равенство |
0 ее частных производных: |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
' |
( aˆ |
ˆ |
|
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, b ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a' |
( aˆ |
ˆ |
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Fb |
, b ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
В частности, для данного функционала имеем: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
ˆ |
) =0, |
|
|
∑2( yi − aˆ − bxi )( −1 ) =0, |
|
|
|
|
∑( yi |
− aˆ − bxi |
|||||||||||||||
ni =1 |
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
n |
i =1 |
|
|
|
ˆ |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
)( − xi ) =0; |
|
∑( xi yi − axˆ |
|
2 |
=0; |
||||||||||||
∑2( yi − aˆ − bxi |
|
i − bxi ) |
||||||||||||||||||||
i =1 |
∑yi |
− ∑aˆ − b∑xi =0, |
|
|
i =1 |
|
n aˆ |
+ b∑xi = ∑yi , |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
n |
|
n |
|
ˆ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
n |
|
|
n |
|
|
|
i =1 |
i =1 |
i =1 |
|
=0; |
|
aˆ ∑xi |
|
i =1 |
|
i =1 |
|
|||||||||
|
∑xi yi |
−aˆ ∑xi |
− b∑xi |
+ b∑xi |
= ∑xi yi . |
|||||||||||||||||
|
n |
|
n |
ˆ |
n |
|
|
|
|
|
n |
ˆ |
n |
|
n |
|
||||||
|
i =1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
i =1 |
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
i =1 |
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
i =1 |
|
i =1 |
|
|||||||
Т.к. |
∑n |
xi , |
∑n |
yi , |
∑n |
xi2 , |
|
∑n |
xi yi |
для заданной выборки являются по |
||||||||||||
|
|
i =1 |
|
i =1 |
|
i =1 |
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
сути числами, то имеем систему 2-х линейных алгебраических уравнений с |
||||||||||||||||||||||
двумя неизвестными a |
и b , решить которую можно любым из известных |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гаусса, Крамера, обратной матрицы, …). |
|||||||||||||||||
методов (подстановкой, |
||||||||||||||||||||||
Удобно получить и пользоваться готовыми формулами для вычисле- |
||||||||||||||||||||||
ния коэффициентов регрессии. |
Введем средние арифметические |
14
Полянский Ю.Н.
Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.
|
|
|
|
|
|
∑n |
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑n |
yi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑n |
|
xi2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑n |
xi yi |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
i=1 |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
i =1 |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy |
= |
i =1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
и выразим из 1-го уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ y i − b |
∑ x i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
aˆ |
|
|
= |
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i =1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
В результате имеем |
|
|
aˆ |
= y − bx , |
|
|
|
|
|
|
ˆ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
n |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
− bx |
|
|
)∑xi |
+ b∑xi |
= ∑xi yi . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Разделив обе части 2-го уравнения на n , имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
aˆ = y − bx , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑xi |
|
|
|
|
|
∑xi2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∑xi yi |
|
|
|
|
|
|
|
|
aˆ = y |
− bx , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y − bx |
|
|
+ b x |
|
|
= xy. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
( y − bx ) |
|
|
n |
|
+ b |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Итоговые формулы для оценок коэффициентов регрессии: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
= |
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
= |
|
|
|
− ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
b |
|
x |
. |
|
|
|
(1.2) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
- |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
1.1.2. Характеристики парных линейных регрессий |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Для оценки тесноты линейной связи между значениями СВ X и Y |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в конкретной выборке используется выборочный |
линейный коэффициент |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
парной корреляции: |
|
|
|
|
|
|
r = |
x y − |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.3) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sx sx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где sx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- выборочные среднеквадратичные от- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
− x |
|
, s y |
= y |
|
|
|
− y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
клонения СВ |
|
|
|
X |
|
и |
Y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Возможный диапазон изменений выборочного линейного коэффици- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ента парной корреляции: |
|
− 1 ≤ r ≤ 1 |
. Чем ближе по модулю |
r |
|
к 1, тем тес- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нее линейная связь между переменными в выборке. |
|
При |
|
r =±1 имеем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функциональную зависимость |
|
(рис.1.2-1.3). Равенство |
|
0 |
|
|
коэффициента r |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
означает полное отсутствие корреляционной связи |
|
(рис.1.4-1.5). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
! |
Замечания. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
• |
Близость абсолютной величины r к 0 ещё не означает отсутствие любой |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
связи между переменными, |
|
а лишь отсутствие именно линейной связи. Кроме ли- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нейной может наблюдаться нелинейная связь |
(рис.1.5). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Знак r совпадает со знаком оценки коэффициента регрессии b . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Качество |
конкретного |
уравнения линейной регрессии |
оценивают ко- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
эффициентом детерминации: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 = |
Qr |
= 1 - |
Qe |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.4) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15
где yi
ˆyi
y
Qr =∑n ( ˆyi - y )2
i=1
Qe =∑n ( yi - ˆyi )2
i=1
Q=∑n ( yi - y )2
i=1
Полянский Ю.Н. Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.
–i- ое наблюдаемое значение СВ Y;
–i- ое оценочное значение СВ Y;
–среднее арифметическое значение СВ Y;
–сумма квадратов, обусловленная регрессией
(RSS – regression sum of squares [1]);
–остаточная сумма квадратов (ESS – error sum of squares);
–общая сумма квадратов (TSS – total sum of squares).
Рис.1.2. Положительная функцио- |
Рис.1.3. Отрицательная |
нальная зависимость. |
функциональная зависимость. |
Рис.1.4. Полное отсутствие связи |
Рис.1.5. Отсутствует линейная связь, |
между переменными. |
но присутствует нелинейная. |
Смысл: R2 показывает долю вариации переменной Y, обуслов- ленную вариацией объясняющей переменной X .
Теоретически возможный диапазон 0 ≤ R2 ≤1 . Чем ближе R2 к 1, тем качество модели выше, тем ближе в совокупности линия регрес- сии к экспериментальным точкам (рис.1.6).
Обычно считаются практически допустимыми к применению модели с R 2 > 0 ,8 .
16
Полянский Ю.Н.
Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.
! |
Замечания. |
отметки |
|
|
• |
Показанные на рис.1.6 |
Q , |
|
|
Qe и Qr надо понимать условно, т.е. |
как |
|
||
изображение соответствующих |
расстояний, |
|
||
квадраты которых суммируются. |
|
|
||
• |
Коэффициент R 2 применяется для |
|
||
оценки качества линейных и нелинейных ре- |
|
|||
грессий (рис.1.7-1.8). |
|
|
|
|
Даже при полной функциональной зависимо- |
|
|||
сти между переменными (т.е. при r = ±1) |
|
|||
прямая линия, полученная каким-либо иным |
|
|||
методом, кроме МНК, может проходить не |
Рис. 1.6 |
|||
точно по точкам. При этом коэффициент де- |
||||
терминации может не равняться |
1 (рис.1.9). |
|
||
• |
R2 =0 означает, что любая из проведённых прямых «одинаково плоха» |
|||
для полученных исходных данных (рис.1.10). |
|
|||
|
• Если уравнение парной линейной регрессии получено методом |
|||
наименьших квадратов, то |
|
R 2 = r 2 |
(1.5). |
Рис.1.7 Абсолютно точная подгонка |
Рис.1.8 Абсолютно точная |
по прямой линии. |
подгонка по параболе. |
Рис.1.9 Несмотря на полную функцио- нальную связь между переменными, прямая, полученная не МНК, может проходить не строго по точкам.
Рис.1.10 Любая из проведенных прямых «одинаково плоха»
( R 2 =0 ).
17
Полянский Ю.Н. Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.
Кроме того, качество уравнения линейной регрессии можно
оценить с помощью средней относительной ошибки аппроксимации
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
1 |
|
|
|
n |
|
|
ei |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
− ˆ |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
A = |
∑Ai = |
|
∑ |
|
|
100% = |
|
|
∑ |
|
y i |
yi |
|
100% |
. |
(1.6) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
yi |
|
|
|
|
|
|
|
y i |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n i =1 |
n |
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
Практически допустимой |
обычно считают |
|
|
<8...10%. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
A |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
! |
Замечание. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
На практике необходимо оценивать точность модели как коэффициентом детер- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
минации, так и средней относительной ошибкой. При очень малых y |
даже небольшой |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
разброс наблюдаемых значений от линии регрессии (т.е. при |
R → 1 ) |
может привести к |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
существенным относительным ошибкам. И наоборот, при очень больших y малые |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
еще не означают, что точки легли достаточно близко к линии регрессии. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Силу связи между объясняемой и объясняющей переменными в ли- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нейной регрессии характеризует средний коэффициент эластичности |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Э = |
1 |
∑n |
Эi |
= b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
(1.7) |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
где Эi = lim |
|
|
|
y |
yi |
|
|
y |
xi |
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
- местный коэффициент |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= lim |
|
|
= y' |
= b |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
yi |
|
|
yi |
yi |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
x→0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
эластичности. |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Э |
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Смысл: |
|
показывает, на сколько % |
в среднем по совокупности из- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
менится y от своего среднего значения при изменении x в среднем по со- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вокупности на |
1% от своего среднего значения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Значимость (надёжность) уравнения (модели) парной линей- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ной регрессии |
|
в целом |
определяет F-критерий Фишера-Снедекора. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Оценка значимости модели в целом необходима для определения сте- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
пени соответствия модели, |
полученной по конкретной ограниченной |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
выборке, реальным закономерностям генеральной совокупности. До- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
статочно ли имеющегося количества наблюдений при учтенном |
числе |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
факторов для построения адекватной модели? |
Например, идеально |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точная ( R 2 =1 ) |
модель парной линейной регрессии, полученная по 2-м |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
наблюдениям |
|
|
( n =2 ) явно |
|
|
ненадежна |
|
и |
|
|
требует большего |
числа |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
наблюдений. |
А достаточно ли |
|
3, 4, 5 наблюдений? Где та грань, когда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
наблюдений достаточно? |
линейной регрессии значимо на уровне α |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Уравнение парной |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(обычно принимают α =0 ,05 [9]), если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F = |
Qr (n−2) |
>F |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.8) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q−Qr |
α;1;n−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18
Полянский Ю.Н.
Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.
Критическое значение Fα;1;n−2 определяется по специальным ста- тистическим таблицам (табл.4 приложений).
В парной линейной регрессии F-статистика связана с коэффици-
ентом детерминации соотношением
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F = |
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
( n − 2 ) |
. |
|
|
|
|
|
(1.9) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − R2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Значимость оценок |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
линейной регрессии a и b |
|||||||||||||||||||||||||||
|
коэффициентов |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
определяется t-статистикой Стьюдента, например |
|
|
ˆ |
ˆ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t bˆ = |
|
b |
|
= |
b |
|
|
∑( x i - |
|
)2 |
. |
|
(1.10) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m ˆ |
|
s |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где mbˆ = |
|
∑n |
( xi - x )2 |
- стандартная ошибка b ; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
∑n |
( ˆyi − yi )2 |
∑n |
|
ei2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
s = |
|
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
= |
|
|
i =1 |
|
|
|
|
|
- выборочное среднеквадратичное от- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
клонение остатков, иначе - стандартная ошибка |
; |
(1.11) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
s2 - выборочная остаточная дисперсия (оценка дисперсии ошибок). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Если |
|
|
t bˆ |
|
|
> t1-α;n -2 |
, то оценка коэффициента регрессии b |
значима |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
на уровне α. Для парной линейной регрессии справедливо соотноше- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ние tbˆ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
F . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Этот показатель характеризует степень необходимости присут- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ствия в модели свободного члена a |
|
|
|
и конкретного фактора, отражае- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
мого коэффициентом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
есть эконометрические модели с |
|||||||||||||||||||||||
b . Например, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
отсутствующим (=0) свободным членом a . Не всегда необходимость |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|||||
его отсутствия может быть оправдано экономическими соображения- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ми, а может определяться , |
например, t-статистикой Стьюдента. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Для парной линейной модели этот показатель не столь актуален. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Особо важен он во множественных моделях (см. п.3.1.3). |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Значимость коэффициента корреляции |
определяется t- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
статистикой Стьюдента |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t r |
= |
r |
|
|
n − 2 |
|
|
. |
|
(1.12) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Если |
|
|
|
|
|
|
|
|
> t1-α;n -2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − r 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
t r |
|
|
, то коэффициент корреляции r значим на вы- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
бранном уровне значимости α. Справедливо соотношение tr = |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
F |
. |
19
Полянский Ю.Н. Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.
1.1.3. Прогнозирование с помощью парных линейных регрессий
|
Прогнозирование с помощью парной линейной регрессии может |
|||||||||||||||||||||||
осуществляться путем подстановки значения объясняющей перемен- |
||||||||||||||||||||||||
ной в полученное уравнение регрессии. Например, получено регресси- |
||||||||||||||||||||||||
онное уравнение, |
связывающее цену на товар ( X ) |
и количество про- |
||||||||||||||||||||||
данного товара (Y ) y = 320,73 − 1,04 x . |
Для определения объема продаж |
|||||||||||||||||||||||
по цене |
x0 =120 руб. необходимо подставить x0 в уравнение. |
Прогноз |
||||||||||||||||||||||
продаж: |
y(120) = 320,73−1,04 120= 195,9 кг. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Конечно, такой прогноз отвечает на вопрос, каково будет среднее |
|||||||||||||||||||||||
значение результата. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Однако зачастую необходимо знать диапазон возможных значе- |
|||||||||||||||||||||||
ний результатов с заданной надежностью. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Ниже приводятся формулы, |
позволяющие производить интер- |
||||||||||||||||||||||
вальное |
(а не точечное, как по уравнению регрессии) прогнозирование. |
|||||||||||||||||||||||
Более подробно об интервальной оценке по регрессионному уравне- |
||||||||||||||||||||||||
нию см. |
далее в задаче |
1.3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Доверительный интервал для индивидуального значения xo : |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ˆ |
− |
t1−α;n−2 s yˆ |
|
≤ |
* |
≤ |
ˆ |
|
+ |
t1−α;n−2 s yˆ |
|
. |
(1.13) |
||||||
|
|
|
|
|
yo |
|
o |
yo |
|
yo |
|
o |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
( |
|
1 |
|
( x o − |
|
|
) 2 |
|
|
) |
|
дисперсия индивидуальных |
|||||||||
где |
s 2ˆ |
= s 2 |
1 + |
+ |
x |
|
|
– |
||||||||||||||||
|
∑n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
yo |
|
|
|
n |
|
( x i − |
|
) 2 |
|
|
значений yo ; |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
i =1
t1-α;n- 2 – t- критерий Стьюдента (табл.2 приложений).
Доверительный интервал для условного математического ожидания объясняемой переменной:
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
≤ |
M x ( y ) |
≤ ˆ |
+ |
t1-α;n-2 syˆ |
, |
(1.14) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y - t1-α;n-2 sˆy |
|
y |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
( |
1 |
( xо - |
|
)2 |
) – |
|
|
|
|
|
|
||||
где |
|
2 |
|
2 |
x |
дисперсия групповых средних. |
|
|||||||||||||
s |
ˆy |
= s |
|
|
+ ∑( xi - |
|
)2 |
|
||||||||||||
|
n |
x |
|
|||||||||||||||||
|
Доверительный интервал для коэффициента регрессии: |
|
|
ˆ |
|
s |
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
s |
|
||||||||||
|
b − t1−α;n−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ |
b ≤ |
b + t1−α;n−2 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
∑n |
( xi − |
|
)2 |
|
∑n |
( xi − |
|
)2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
x |
||||||||||||||||||
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Доверительный интервал для дисперсии: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n s2 |
|
|
≤ σ 2 ≤ |
n s |
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
χα2 |
|
|
χ 2 α |
;n-2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2; n-2 |
|
|
1- 2 |
|
|
|
|
|
|
|
(1.15)
(1.16)
20
Полянский Ю.Н.
Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.
1.2. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача 1.1 |
|
|
|
|
|
Имеются данные о цене на некото- |
|
|
|
|
|
рый товар (X, руб.) и соответствующем |
|
|
|
|
|
ежедневном спросе на него (Y, кг) |
у |
|
|
|
|
n=10 продавцов. Задания выполнить |
|
|
|
|
|
расчетами (по формулам). |
|
|
|
|
|
1) Построить поле корреляции (то- |
|
|
|
|
|
чечный график экспериментальных |
|
|
|
|
|
значений) и сделать предваритель- |
|
|
|
|
|
ное эмпирическое предположение о |
|
|
|
|
|
характере связи между Y и X. |
|
|
|
|
|
2) Оценить тесноту линейной связи |
|
|
|
|
|
между СВ Y и X с помощью коэф- |
|
|
|
|
|
фициента корреляции r (согласу- |
|
|
|
|
|
ется ли оно с предварительным |
|
|
|
|
|
|
Рис. |
1.11 |
|
||
предположением?). |
|
|
|
||
3) Получить МНК-уравнение парной линейной регрессии Y на X. |
|||||
4) Получить прогнозные (теоретические) |
значения объясняемой пере- |
||||
менной Y для заданных значений |
X; |
пользуясь ими, |
нанести линию |
полученной линейной регрессии на одну диаграмму с точечным гра- фиком экспериментальных данных; визуально убедиться в качестве построенной модели.
Решение.
Решать будем с использованием табличного процессора Microsoft Excel (версия любая). Заготовим таблицу исходных данных (рис.1.11).
!Замечания.
•Как правило, буквенные подписи в ячейках – лишь комментарии, способствую- щие пониманию задачи и не имеющие прямого отношения к ее решению.
•Удобно в строках таблицы записывать данные, касающиеся конкретного i-го наблюдения. При необходимости строки могут быть добавлены
•Для использования в расчетах каких-либо данных (коэффициентов, характери- стик и т.п.), которые могут изменяться, исходя из условий задачи, нужно предусмотреть ячейки для их ввода. Это лучше, чем включение соответствующих чисел в формулы, т.к. делает программу универсальной и понимаемой. Например, в данной задаче в ячейку A14 можно ввести строку-комментарий «n=», а в ячейку B14 – объем выборки - число 10. Впрочем, те, кто знаком с функциями Microsoft Excel, могут это значение вычислить как количество непустых строк в таблице данных.
•Для облегчения восприятия вводимого алгоритма и снижения вероятности ошибки рекомендуется выделять необходимые ячейки рамкой, цветом, шрифтом, сопро- вождать комментариями, группировать по логике решения и т.п.
21
Полянский Ю.Н. Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.
1) Эконометрические исследования рекомендуется начинать с по- строения поля корреляции для визуальной оценки исходных данных.
Для этого воспользуемся Мастером диаграмм, входящим в состав Microsoft Excel. В настоящей работе не ставится цель обучить работе с ним,
а лишь рассматриваются наиболее общие вопросы построения графиков для облегчения исследований.
! |
Замечания. |
|
||
|
• |
Важно выбрать необходимый тип диаграммы. Чаще всего в дальнейшем мы |
||
будем использовать типы диаграмм «Точечная» и «График». Они имеют отличия: |
||||
|
- |
В диаграмме типа |
«График» не важны числовые значения аргумента. Точки |
|
просто располагаются по порядку через равные промежутки по оси OX и могут быть во- |
||||
обще не числами, а произвольными строками-подписями (в т.ч. и числовыми). |
||||
|
- |
Для построения диаграммы «Точечная» требуется ввести диапазоны ячеек как |
||
переменной Y, так и X. И точки располагаются в масштабе не только по OY, но и по OX. |
||||
|
- |
Оба типа диаграмм допускают соединение точек линиями, рисование маркеров |
||
и т.п. Для этого достаточно выбрать соответствующий вид диаграммы в пределах своего |
||||
типа (рис.1.12) или уже после построения диаграммы дважды щелкнуть на линии графи- |
||||
ка левой кнопкой мышки и установить соответствующие параметры в раскрывшемся |
||||
окне диалога. |
|
|||
|
• |
При построении графика данные необходимо упорядочивать по возрастанию X |
||
(меню «Данные – Сортировка»). Для этого надо выделить всю таблицу исходных данных |
||||
(вместе с шапкой) и выбрать меню «Данные – Сортировка». Внимание! Если выделить |
||||
лишь нужный столбец, то только он и будет упорядочен. При этом может потеряться со- |
||||
ответствие между переменными X и Y в столбцах таблицы (тогда можно отменить сор- |
||||
тировку кнопкой отката |
|
на панели инструментов). Сортировать таблицы по столбцу |
||
|
можно и с помощью кнопки , встав на соответствующий столбец.
Итак, упорядочим данные по возрастанию X, а затем вызовем Мастер
диаграмм, щелкнув левой кнопкой мышки на кнопку панели инстру- ментов.
Т.к. исходные значения объясняемой переменной X произвольны, не обязательно следующие через равные промежутки, то выберем тип «Точеч- ная» (в котором предусмотрена шкала оси X). При изображении графика экспериментальных данных точки принято (и это логично) рисовать марке- рами (лучше всего кружками) и не соединять между собой линиями. Поэто- му выберем 1-й вид графика (рис.1.12) и кнопку «Далее».
В следующем окне откроем закладку «Ряд» (рис.1.13). На одной диа- грамме может быть изображено несколько графиков (в терминологии руси- фицированного Microsoft Excel - рядов). Введем первый из них, щелкнув на кнопку «Добавить». Укажем источник исходных данных для графика, т.е. диапазоны ячеек с переменными X и Y. Для этого щелкнем указателем на поле ввода «Значения X» и выделим мышкой диапазон ячеек (столбец) C2:C11. Обратите внимание, что при этом в активном поле ввода автомати- чески запишется строка «=Лист1!$C$2:$C$11».
22