41_1_Econometrics_Polyansky__Part_1
.pdfПолянский Ю.Н.
Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.
Аналогично введем данные об Y в поле «Значения Y» (предваритель- но, если она есть, стерев строку «={1}»). В поле автоматически запишется «=Лист1!$B$2:$B$11». Обратите внимание, что в окне предварительного просмотра уже можно видеть общий вид графика.
Рис. 1.12 |
Рис. 1.13 |
Дальнейшие усовершенствования графика, |
не имеющие прямого от- |
ношения к сути задачи, можно выполнить нажав кнопки «Далее» и «Гото- во». График вставится в текущий лист документа. После этого его можно
редактировать: изменять размер, положение и т.п.
Отметим, что масштаб диаграммы по осям OX и OY выбирается ав- томатически, и не всегда он оптимален для восприятия. Для большей наглядности желательно, чтобы график занимал все пространство диаграм- мы как по оси OX, так и по OY. Если необходимо изменить шкалу графика,
щелкните два раза точно на нужную ось и в раскрывшемся окне установите нужные параметры (рис.1.14).
Рис. 1.14 Рис. 1.15
В результате точечный график экспериментальных значений за-
23
Полянский Ю.Н. Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.
дачи будет выглядеть в виде, аналогичном приведенному на рис.1.15.
Его общий вид позволяет сделать предварительный вывод о наличии линейной связи между случайными величинами X (цена на товар) и Y (спрос на товар), т.к. точки на графике лежат близко к воображаемой убывающей прямой. Однако эмпирически трудно определить, насколько эта связь тесная.
2) Мерой тесноты линейной связи между двумя случайными ве-
личинами является линейный коэффициент парной корреляции r :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r = |
x y - |
x |
|
y |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sx s y |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
|
|
и |
|
|
|
– |
средние арифметические случайных величин X и Y; |
|
|
|||||||||||||||||||||||
x |
y |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
среднее арифметическое произведений СВ X и Y; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
x y – |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
выборочное среднее квадратичное отклонение СВ X; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
s x |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
− x |
– |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выборочное среднее квадратичное отклонение СВ Y; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
s y |
= |
|
|
|
|
|
|
|
− y |
– |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
средние арифметические квадратов случайных величин X и Y; |
||||||||||||||||||||||||
|
x 2 , |
|
y 2 – |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
квадраты средних арифметических случайных величин X и Y; |
|||||||||||||||||||||||||
|
x |
, |
|
y |
– |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Анализ формулы показывает, что для расчетов необходимы сред- |
|||||||||||||||||||||||||||||
ние значения, для чего в исходной таблице удобно ввести вспомога- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
тельные столбцы «x2», «y2» и «xy» (D, E |
и F на рис.1.16). |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Расчет |
x2 для |
|
1-го наблюдения осуществляется вводом в ячейку D2 |
||||||||||||||||||||||||||
формулы |
«=С2*С2». Последующее протягивание (указателем мыши за |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
черную точку в правом |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нижнем |
углу |
ячейки |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D2) до ячейки |
D11 |
поз- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
воляет аналогично рас- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
считать |
x2 |
для осталь- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ных наблюдений. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
расчета |
xy |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
введем |
в |
E2 |
формулу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«=C2*B2» |
и протянем |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ее до E11. |
|
средних |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Расчет |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
значений будем прово- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дить в строке |
12 с по- |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мощью |
|
|
функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СРЗНАЧ (впрочем, |
это |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
можно сделать и иначе, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.16 |
|
|
|
|
24
Полянский Ю.Н.
Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.
например, вычислением по формуле среднего арифметического). Для этого, |
||||||
встав на ячейку B12 (там, где |
|
|
||||
Yср.), |
щелкнем на панели ин- |
|
|
|||
струментов кнопку |
мастера |
|
|
|||
функций . В окне мастера |
|
|
||||
функций |
найдем |
функцию |
|
|
||
СРЗНАЧ |
(рис.1.17). В вер- |
|
|
|||
сиях |
выше Microsoft |
Excel |
|
|
||
2000 |
её |
можно вызвать и |
|
|
||
иначе [15]. |
функцию |
|
|
|||
|
Вызвав |
|
|
|||
СРЗНАЧ, |
зададим диапазон |
|
|
|||
ячеек |
B2:B11 для |
расчета |
|
|
||
среднего |
значения |
Y |
|
|
||
(рис.1.18). |
|
|
Рис. 1.17 |
|
||
|
Аналогично рассчита- |
|
||||
ем остальные средние значе- |
|
ячейки B12. |
||||
ния. Процесс можно ускорить протягиванием по строке 12 |
|
|
Рис. 1.18 |
|
|
|
|
|
и s y |
Для расчетов выборочных средних квадратичных отклонений s x |
||||||
ниже расчетной таблицы в ячейках A15 |
и |
A16 |
напишем коммента- |
||||
рии |
«сигма X=» и «сигма Y=». В ячейку B15 |
введем соответствующую |
|||||
формулу |
«=КОРЕНЬ(D12-C12*C12)», |
а |
|
в |
B16 - |
формулу |
|
«=КОРЕНЬ(E12–B12*B12) ». Напомним, |
что ввод формулы может |
||||||
осуществляться как вписыванием формулы, |
так и вызовом мастера |
||||||
функций кнопкой . |
|
|
|
|
|
Для расчета коэффициента корреляции в ячейке C14 впишем коммен-
тарий «r=», а в ячейке D14 - формулу «=(F12-C12*B12)/(B15*B16)».
Обратите внимание на формат ячеек для отображения на экране полу- чившихся значений s x , s y и r . Для них достаточно 3-4-х знаков после за- пятой. Желательно выделить получившиеся значения цветом, фоном и т.п. Результаты расчетов показаны на рис.1.19.
25
Полянский Ю.Н. Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.
Получен r = − 0,928 близкий по модулю к 1, что говорит о наличии очень тесной линейной связи между X и Y (т.е. их коррелированности). Знак «минус» означает, что имеет место обратная линейная корреляция, т.е. с ро- стом X уменьшается Y, что соответствует экономическому смыслу: с ростом цены на товар спрос на него обычно падает.
Рис. 1.19
Заметим, что в иных экономических ситуациях возможен иной эффект от увеличения цены на товар, например, нелинейное падение спроса или даже его рост. Но здесь обработаны конкретные статистические данные, для которых и получен соответствующий вывод.
3) По общему виду точечного графика экспериментальных значений (рис.1.15) можно сделать предварительное предположение о том, что в дан- ном случае может подойти модель парной линейной регрессии.
Оценки её коэффициентов вычисляются по формулам:
|
|
|
x y − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ˆ |
x |
y |
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
b = |
|
|
|
|
|
|
|
, |
aˆ = y − b x . |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x 2 − |
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Как видно, все необходимые промежуточные данные уже посчи- |
|||||||||||||||||||
таны. Поэтому, |
подписав в ячейках |
C15 и C16 комментарии «b =» и «a |
||||||||||||||||||
=», |
введем в |
D15 |
и |
D16 |
соответствующие формулы |
«=(F12- |
||||||||||||||
C12*B12)/(D12-C12*C12)» и «=B12-D15*C12». |
|
1,630 , |
a |
|
79,949 . |
|||||||||||||||
|
Получены оценки коэффициентов регрессии b |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
= − |
|
ˆ |
= |
|
Отрицательный знак ˆ соответствует убывающей регрессии, а его модуль b
характеризует угол наклона прямой линии. Итак
ˆy = 79,949 − 1,630 x .
26
Полянский Ю.Н.
Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.
|
|
4) Чтобы увидеть её график и визуально оценить точность подгонки, |
||||||||
необходимо нанести эту прямую линию на ту же диаграмму, что и экспери- |
||||||||||
ментальные данные. Из геометрии известно, что для ручного построения |
||||||||||
прямой линии достаточно нанести две её точки, которые потом соединить |
||||||||||
по линейке. Но средства мастера диаграмм Microsoft Excel не позволяют |
||||||||||
этого сделать. Поэтому рассчитаем прогнозные (теоретические) значения Y |
||||||||||
для каждого имеющегося в таблице значения объясняющей переменной X. |
||||||||||
Для этого введем в расчетной таблице дополнительный столбец G, озагла- |
||||||||||
вив его «Yт». |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Т.к. |
уравнение регрессии уже получено, осталось лишь для каждого i- |
|||||||
го значения X рассчитать в столбце G соответствующее прогнозное значе- |
||||||||||
ние |
Y. Для этого в ячейке |
G2 |
введём формулу «=$D$16+$D$15*C2» и про- |
|||||||
тянем по диапазону ячеек |
G2:G11 (рис.1.19). |
|||||||||
! |
|
Замечания. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
• |
Обратите внимание на абсолютные адреса $D$15 и $D$16. Они необходимы |
|||||||
для того, чтобы при протягивании не происходила переиндексация формул по этим |
||||||||||
ячейкам, |
соответствующим значениям коэффициентов регрессии. |
|||||||||
|
|
• |
Быстро проставить абсолютные адреса можно после набора в строке формул |
|||||||
адреса ячейки и нажатия клавиши |
F4. |
|||||||||
|
|
Когда теоретические (прогнозные) значения переменной Y получены, |
||||||||
можно их наносить на один |
|
|||||||||
график с экспериментальны- |
|
|||||||||
ми (так удобнее сравнивать). |
|
|||||||||
Для |
|
этого на построенном |
|
|||||||
ранее |
|
графике |
|
|
(рис.1.15) |
|
||||
щелкнем |
правой |
кнопкой |
|
|||||||
мыши и в всплывающем ме- |
|
|||||||||
ню выберем пункт «Исход- |
|
|||||||||
ные данные». В открывшем- |
|
|||||||||
ся |
окне |
мастера |
|
диаграмм |
||||||
(закладка |
«Ряд») |
|
нажмем на |
|
||||||
кнопку |
«Добавить» и введем |
|
||||||||
данные |
нового |
ряда |
(имя, |
|
||||||
данные |
X и Y). |
|
Точечный |
Рис. 1.20 |
||||||
график по умолчанию нари- |
||||||||||
суется маркерами. |
Но теоретическая прямая должна быть именно непре- |
|||||||||
рывной прямой, |
а не набором точек. Для этого дважды щелкнем левой |
|||||||||
кнопкой мыши на любую вновь построенную теоретическую точку. Откро- |
||||||||||
ется окно |
«Формат ряда данных», в котором на вкладке «Вид» укажем: ли- |
|||||||||
ния |
– « Другая», толщина – желательно потолще, маркер – « Отсутствует». |
|||||||||
После нажатия кнопки |
«ОК» |
диаграмма должна принять вид, аналогичный |
||||||||
рис.1.20. |
экспериментальные и теоретические графики (ряды) нанесе- |
|||||||||
|
|
Т.к. |
27
Полянский Ю.Н. Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.
ны на одну диаграмму, хорошо видно, что экспериментальные точки лежат достаточно близко к теоретической прямой линии – графику уравнения парной линейной регрессии. Это согласуется с полученным выше значением коэффициента корреляции, близким по модулю к 1.
Задача 1.2
Используя условия и предварительные результаты решения задачи
1.1:
1) оценить качество подгонки полученного уравнения регрессии с по- мощью коэффициента детерминации R 2 ;
2) оценить значимость (статистическую надежность) модели на уровне α =0,05 с помощью F-критерия Фишера-Снедекора;
3) оценить качество полученного уравнения регрессии с помощью сред- ней ошибки аппроксимации A ;
4) дать оценку силы связи между Y и X с помощью среднего коэффици- ента эластичности Э;
Решение.
1) Оценим качество подгонки полученного уравнения регрессии (качество модели). Или проще: насколько близко проходит её график от всех экспериментальных точек в совокупности, «насколько модель хороша». Оно оценивается коэффициентом детерминации R 2 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R 2 = |
QR |
= 1 − |
Qe |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
= ∑n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
||
где Qr |
( ˆyi − |
|
)2 |
– |
сумма квадратов, обусловленная регрессией (RSS); |
||||||||||||||||||
y |
|||||||||||||||||||||||
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Qe |
= ∑n |
( yi − ˆyi |
)2 |
– |
остаточная сумма квадратов (ESS); |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
= ∑n |
( yi − |
|
)2 |
– |
общая сумма квадратов (TSS). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yi – столбца G таблицы данных. |
||||||||||
Здесь yi – это данные столбца B, |
|||||||||||||||||||||||
Для расчета |
QR |
|
|
|
ˆ |
|
y и |
yi |
|
y для |
|||||||||||||
и Q необходимы разности yi |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
− |
|
|
|
− |
|
|
каждого i-го наблюдения. Введем столбцы H и I, озаглавив их в ячей- |
|||||||||||||||||||||||
ках H1 и I1 |
соответственно «(YТ -Yср.)^2» и «(Y-Yср.)^2» (рис.1.21). В |
||||||||||||||||||||||
ячейках H2 |
и I2 введем соответствующие расчетные формулы «=(G2- |
||||||||||||||||||||||
$B$12)^2» |
и «=(B2-$B$12)^2» и протянем их по соответствующим диа- |
||||||||||||||||||||||
пазонам H2:H11 и |
I2:I11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!Замечания.
•Запись «^2» в Microsoft Excel, как и во многих языках программирования, означает возведение в квадрат.
28
Полянский Ю.Н.
Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.
• Обратите внимание на абсолютный адрес $B$12, что необходимо для того, чтобы при протягивании столбцов H и I не происходила его переадресация.
Суммы полученных квадратов разностей (т.е. столбцов H и I) по- лучим в 13-й строке, озаглавив её «Суммы». Это можно сделать в ячейках H13 и I13 вызовом функции СУММ или щелкнув на кнопку
панели инструментов и выделив соответствующий диапазон ячеек
(H2:H11 или I2:I11).
Осталось только внизу таблицы в ячейке E14 ввести комментарий «R=», а в ячейке F14 – формулу «=H13/I13».
Полученное значение коэффициента детерминации R 2 =0,861 близко к единице, что говорит о хорошем качестве построенной моде- ли. Можно для проверки даже получить квадрат коэффициента корре- ляции. Как известно, для парной линейной модели имеет место равен- ство R 2 =r 2 . В ячейке E15 подпишем комментарий «r2=», а в F15 – формулу «=D14*D14». Действительно, R 2 =r 2 =0,861 . Результат пока- зан на рис.1.21.
Рис. 1.21
2) Оценим значимость модели в целом. Или проще: «насколько модели можно доверять при имеющихся исходных данных».
Как известно, уравнение регрессии значимо, если наблюдаемое значение статистики F больше табличного значения F-критерия Фи- шера-Снедекора (табл. 4 приложения) на уровне α (обычно α =0,05 ) при k1 = p = m − 1 и k2 = n − m = n − p − 1 степенях свободы:
29
Полянский Ю.Н. Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.
|
|
|
|
|
|
|
F = |
QR (n − m) |
> F |
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Qe (m −1) |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α;k1 |
;k2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
А Qe |
Для парной линейной регрессии количество неизвестных m =2 . |
|||||||||||||||||
|
∑( yi |
yi |
) , или иначе: Qe |
|
Q |
|
QR : |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
n |
− ˆ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
− |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F = |
QR ( n − 2 ) |
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Величины QR |
|
|
|
Q − QR |
|
|
|
|
||||||||
|
|
и Q у нас уже посчитаны в ячейках H13 и I13. До- |
||||||||||||||||
полнительных вычислений не требуется. Впишем в ячейку E16 |
ком- |
|||||||||||||||||
ментарий «F =» и в ячейку F16 |
формулу |
«=H13*(B14-2)/(I13-H13)». |
||||||||||||||||
Полученное значение F =49,425 |
надо сравнить с табличным значени- |
|||||||||||||||||
ем. |
В таблице F-критерия Фишера-Снедекора (таблица 4 приложения) |
|||||||||||||||||
для |
|
уровня |
значимости α = 0,05 |
выберем |
столбец |
k1 = 1 |
и строку |
|||||||||||
k2 = n − 2 = 10 − 2 = 8 . |
Имеем |
F0 ,05 ;1 ;8 =5 ,32 . |
Т.к. F > Fтабл. , |
то модель |
||||||||||||||
значима на уровне |
α = 0,05 . |
|
|
|
|
|
она тоже |
значима, |
т.к. |
|||||||||
|
|
Даже |
на |
|
|
уровне |
α = 0,01 |
|
F> F0 ,01;1 ;8 = 11,26 .
3)Оценим качество полученного уравнения регрессии с помо-
щью средней относительной ошибки аппроксимации
|
|
|
= |
1 |
∑n |
Ai |
= |
1 |
∑n |
|
|
|
yi − ˆyi |
|
100% . |
||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
A |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
yi |
|||||||||||
|
|
|
|
n i =1 |
|
|
n i =1 |
|
|
|
|
|
|||||
Введём в расчетную таблицу |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
дополнительные столбцы J и K для |
||||||||||||||||
абсолютных и относительных ошибок аппроксимации, подписав их |
|||||||||||||||||
соответственно «e» и «A». В ячейке J2 |
впишем формулу «=B2-G2», а в |
||||||||||||||||
K2 – формулу |
«=abs(J2/B2)». |
Протянем поочередно формулы по диа- |
|||||||||||||||
пазонам J2:J11 |
и K2:K11. Проанализируйте самостоятельно из величи- |
||||||||||||||||
ны. При каких X в данной модели допускаются наибольшие ошибки? |
|||||||||||||||||
В ячейке |
K12 |
получим среднюю относительную ошибку с помо- |
|||||||||||||||
щью функции СРЗНАЧ. Чтобы полученные значения были выражены |
|||||||||||||||||
в процентах, зададим столбцу относительных ошибок формат «Про- |
|||||||||||||||||
центный». Для этого выделим ячейки J2:J12 |
|
и щелкнем левой кнопкой |
|||||||||||||||
мыши на кнопку |
|
панели инструментов. |
|
При необходимости зада- |
|||||||||||||
дим этим ячейкам формат 2-3 |
знака после запятой, щелкнув на кнопки |
||||||||||||||||
или . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В ячейке K12 |
получено значение |
|
=12,67% , которое удобно от- |
||||||||||||||
A |
|||||||||||||||||
разить ещё и под таблицей, |
где сведены все ранее полученные харак- |
30
Полянский Ю.Н.
Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.
теристики. Для этого в G14 введем комментарий «Aср. =», а в H14 – формулу «=K12».
Допустимой максимальной средней относительной ошибкой обычно считается 8…10%. Данная модель недостаточно точна. Это не значит, что ею нельзя пользоваться. Надо лишь учитывать, что разброс наблюдаемых значений относительно оценочных не мал. Соответ- ственно, могут быть допущены существенные ошибки в прогнозах.
4) Оценим силу связи между X и Y с помощью среднего коэффи- циента эластичности. Т.к. для парной линейной регрессии f ' ( x) =b , то
Э = f '( x) x =b x . y y
В ячейке G15 введем комментарий «Эср. =», а в ячейке H15 –
формулу «=D15*C12/B12». Полученное значение Эср. = −0,731 означа- ет, что спрос на данный товар неэластичен. При увеличении X на 1% от своего среднего значения Y уменьшится на 0,731% от своего сред- него значения. Сила влияния X (цены товара) на Y (спрос на него) не слишком велика. С ростом цены на данный товар спрос на него падает не слишком значительно.
Задача 1.3
Используя условия и результаты решения задач 1.1 и 1.2:
1) спрогнозировать для некоторого продавца спрос на данный товар при цене 18 руб.;
2) в каких пределах может варьироваться реальный спрос у этого про- давца (с 95% надежностью) при заданной цене;
3) в каких пределах может варьироваться средний спрос у всех продав- цов, установивших такую цену;
4) найти для данной модели (с 95% надежностью) диапазоны возможных значений оценок коэффициента регрессии b и дисперсии ошибок σ2 .
Решение.
1) Имея уравнение парной линейной регрессии (задача 1.1), мож- но осуществлять прогнозирование спроса на товар при заданной цене. Решение будем продолжать в том же файле Microsoft Excel, что и зада-
чи 1.1, 1.2.
Условное математическое ожидание этого спроса, т.е. M x =18 (Y ) оценивается групповой средней yˆ = , которую можно получить под- становкой x=18 в уравнение регрессииx 18 :
31
Полянский Ю.Н. Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yˆ x =18 = 79,949 − 1,63 18 = 50,602 . |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
Процесс решения в |
Microsoft Excel |
далее подробно описываться |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
не будет. |
Результаты решения приведены на рис.1.22. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Таким образом, |
для продавца, установившего цену 18 руб., спрос |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
на товар будет составлять в среднем |
50,602 |
кг. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
гноз |
2) В практической деятельности необходимо знать не только про- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
среднего значения, |
а весь диапазон его возможных значений. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Например, для конкретного продавца важно знать, |
в каких пределах |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
может вероятнее всего находиться спрос на его товар. Это можно оце- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нить |
95%-ым доверительным интервалом для прогнозов индивидуаль- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ного значения yo* : |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ |
|
≤ |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
t1−α;n−2 s yˆ |
|
* |
ˆ |
|
t1−α;n−2 s yˆ |
, |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yo |
|
|
o |
|
yo |
|
yo |
|
|
|
|||||||||||||||||
где syˆ o |
= s |
|
|
( 1 + n + ∑n ( xi − x)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
)– |
дисперсия индивидуальных значений; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
( x |
o |
− |
x |
)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
t1−α;n−2 – t- критерий Стьюдента (таблица 2 приложения); |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
∑n |
( yˆ i − yi )2 |
|
|
∑n |
ei2 |
|
– |
|
выборочная |
|
остаточная |
дисперсия |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
s |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
(оценка дисперсии ошибок); |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n − 2 |
|
|
|
|
n − 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
yi – групповая средняя, вычисленная по уравнению регрессии; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ˆ |
|
|
yi |
|
yi – |
выборочные оценки возмущений (остатки, невязки). |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
ei |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
ˆ |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для нахождения искомого доверительного интервала необходимо |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
знать квадраты остатков ei , |
по которым вычисляется выборочная оста- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точная дисперсия |
|
s 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Дополним расчетную таблицу задач 1.1 и 1.2 дополнительным |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
столбцом |
L, в котором вычислим квадраты текущих остатков, введя в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
L2 формулу |
«=J2*J2» |
и протянув её по ячейкам L2:L11. |
Сумму квад- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
ратов остатков вычислим в ячейке L13, щелкнув на кнопку суммирова- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ния |
|
|
панели инструментов и выделив диапазон L2:L11. Выборочную |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
остаточную дисперсию s 2 вычислим под таблицей. В ячейке C23 под- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
пишем комментарий «s2=». |
В ячейке D23 – |
|
формулу |
«=L13/(B14-2)». |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Для нахождения s 2yˆ o |
|
требуется еще ∑n |
( xi |
− |
|
)2 |
. Поэтому введём |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
i =1
еще столбец M квадратов разностей текущих и среднего значений X. Формула для ячейки M2 – «=(C2-$C$12)^2», которую протянем по диапазону M2: M11, а в ячейке M13 получим искомую сумму.
32