Вопрос 5. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Полиномиальная формула. Наивероятнейшее число появлений события в независимых испытаниях.

Предположим, что опыты являются независимыми величинами. Независимые опыты могут проводиться в одинаковых или разных условиях. При одинаковых условиях вероятность события А будет одинаковой и к нему относится частная теорема. Если опыты разные, то к нему относится общая теорема о повторении опытов. Частная теорема: Вероятность одного сложного события, состоящего в том, что в n испытаниях событие A наступит ровно k раз и не наступит n-k раз, по теореме умножения вероятностей независимых событий равна .Таких сложных событий может быть столько, сколько можно составить сочетаний из n элементов по k элементов, т.е. . Т.к. эти сложные события несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий искомая вероятность равно сумме вероятностей всех возможных сложных событий. Поскольку вероятности всех этих сложных событий одинаковы, то искомая вероятность равна вероятности одного сложного события, умноженной на их число: . Эта формула называется формулой Бернулли.

Если производятся n независимых опытов в различных условиях, причем вероятность появления события А в i-м опыте равна то вероятность Р того, что событие А в n опытах появится m раз, равна коэффициенту при Z в разложении по степеням Z производящей функции где

Если в каждом испытании может произойти одно и только одно из k событий А1, А2,…,Аn, которые независимы и вероятность наступления Аk в одном испытании обозначим Рk, тогда вероятность того, что в n независимых испытаний событие А1 наступит ровно m1 раз, событие А2 ровно m2 раз… событие Аk ровно mk раз, вычисляется по формуле: –полиномиальное распределение; ; свойства

Наивероятнейшее число событий в схеме Бернулли: P_n(m+1)> P_n(m); (n-m)p>(m+1)q n*p-q>m; P_n(m+1)=P_n(m), m=np-q; P_n(m+1)<P_n(m), m>np-q; если np-q целое, то существуют две точки max P_n(m); m₀=np-q, m₁=np-q+1=np+p, если np-q не целое, то np-q≤ m₀≤np+p.

Вопрос 6. Приближенные формулы в схеме Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласса. Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласса. Формула Пуассона. Свойства функций φ(х) и Φ(х).

Локальная (предельная) теорема Муавра-Лапласса: Пусть , a≤x≤b, если n→∞, то ; локальная формула Муавра-Лапласса , , – функция вероятности нормального распределения; свойства φ(х): 1. четная, 2. х= 1, 3. х≥4, т.перегиба φ(х)→0, (0≤х≤4);

Интегральная теорема Муавра-Лапласса: Пусть m число наступления в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления данного события равна p, а не наступления q=1-p, тогда равномерно относительно А и В при n→∞ имеет место соотношения ; вероятность того, что в n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления p, q=1-p, событие произойдет не менее к1 и не более к2 раз: , где – функция Лапласа, ; свойства Φ(х): 1. нечетная Φ(-х)= -Φ(х), 2. возрастает на всей числовой оси, 3. при х≥4, Φ(х) →1/2, (0≤х≤4).

Формула Пуассона: p<0,1, p=0, q=1, npq<10, p=1, q=0,