Вопрос 9. Числовые характеристики дсв. Основные законы распределения дсв. Числовые характеристики для основных законов.
Математическим
ожиданием СВ называется ее среднее
значение
,
свойства: 1.M(C)
= C, где C-
const; 2. M(CX)=CM(X);
3.M(X+Y)
= M(X)+M(Y);
4. Х, Y – независимые, то
M(XY)=M(X)*M(Y)
Мода (М0(Х)) – наиболее вероятное значение СВ, Медиана (Ме(Х)) – значение СВ, которое делит таблицу на 2 части таким образом, что попадает в каждую из них 0,5.
Дисперсия
СВ – математическое ожидание квадрата
отклонения СВ от ее математического
ожидания
;
свойства: 1. D(C)=0,
2. D(CX)=C2D(X),
3. D(X)=M(X2)-(M(X))2,
4. X,Y –
независимы, то D(X+Y)=D(X)+D(Y),
5. за исключением 2cov,
cov(x,y)=M(X-M(X))M(Y-M(Y))
– ковариация СВ.
Среднеквадратическое
отклонение
Биномиальный закон распределения. Случайная величина , распределенная по биномиальному закону, принимает значения:
0, 1, 2, …, n с вероятностями, определяемыми по формулам Бернулли:
xi |
0 |
1 |
2 |
,,, |
|
,,, |
|
pi |
|
|
|
|
|
|
|
Математическое ожидание: M(X)=np.
Дисперсия: D(X)=npq.
Закон распределения Пуассона. Случайная величина , распределенная по закону Пуассона, принимает бесконечное счетное число значений: 0, 1, 2, …, k, …, с соответствующими вероятностями, определяемыми по формуле Пуассона ,где – параметр распределения Пуассона.
При и биномиальный закон распределения приближается к закону распределения Пуассона, где .
Математическое ожидание .
Дисперсия .
Геометрическое распределение. Дискретная случайная величина X имеет геометрическое распределение, если она принимает значения 1, 2, ..., m, ... (бесконечное, но счётное множество значений) с вероятностями
где 0 < p < 1, q=1 - p, m =1, 2, ...
Ряд геометрического распределения имеет вид:
xi |
1 |
2 |
3 |
... |
m |
... |
pi |
p |
pq |
pq2 |
... |
pqm-1 |
... |
Случайная величина X=m, имеющая геометрическое распределение, представляет собой число m испытаний, проведённых по схеме Бернулли, с вероятностью p наступления события в каждом испытании до первого положительного исхода.
Математическое ожидание СВ X, имеющей геометрическое распределение с параметром p, , дисперсия , где q= 1-p.
Отрицательное биномиальное распределение. Производится ряд независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р до получения k успехов. Случайная величина Х – количество неудачных опытов, m=0,1,…,
Гипергеометрический закон. Схема урн. В урне N шаров, M - белых, n шаров вытянули, СВ Х – количество белых шаров среди вытянутых
xi |
0 |
1 |
… |
m |
pi |
|
|
|
|
Вопрос 10. Непрерывные случайные величины (НСВ). Интегральная функция распределения НСВ. Ее свойства. Дифференциальная функция распределения НСВ (плотность распределения). Ее свойства. Вероятность попадания НСВ в заданный интервал.
НСВ – случайная величина, принимающая бесконечное несчетное число значений.
Интегральная
функция (функция распределения)
;
свойства:
1.
,
2.
,
3.
,
4.
.Дифференциальная
функция распределения (плотность
вероятности)
где
F(x) - интегральная функция;
свойства:1.
;
2.
,3.
,
4.
.
Вероятность
попадания в интервал:
,
,
Ф*(Х)=1/2+Ф(Х)