- •1. Рациональные уравнения и методы их решения
- •Методы их решения
- •1. Использование области определения уравнения.
- •2. Разложение на множители.
- •3. Замена переменной.
- •Функциональные методы
- •4. Использование ограниченности функций.
- •5. Использование монотонности функций.
- •2. Рациональные неравенства и методы их решения
- •Алгебраические неравенства.
- •3. Модуль числа. Решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля
- •Основные свойства модуля:
- •I тип уравнений
- •II тип уравнений
- •III тип уравнений
- •IV тип уравнений
- •V тип уравнений
- •VI тип уравнений
- •4. Модуль числа. Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля
- •1 Способ. Использование геометрического смысла модуля.
- •2 Способ. Использование свойства модулей: модули противоположных чисел равны.
- •3 Способ: Использование определение модуля числа.
- •4 Способ: Решение неравенства на интервалах
- •5.Уравнения. Равносильные уравнения. Уравнения–следствия. Теоремы о равносильных преобразованиях уравнений
- •Преобразования, приводящие к равносильному уравнению
- •Теоремы о равносильных преобразованиях уравнений
- •6. Неравенства. Равносильные неравенства. Неравенства-следствия. Теоремы о равносильных преобразованиях неравенств
- •7. Системы и совокупности уравнений. Основные методы решения систем уравнений
- •Системы и совокупности уравнений
- •8. Системы и совокупности неравенств
- •Основные методы решения систем двух неравенств с двумя неизвестными
- •9. Иррациональные уравнения. Основные методы решения иррациональных уравнений
- •10. Иррациональные неравенства. Основные методы решения иррациональных неравенств
- •11. Показательные уравнения. Основные методы решения показательных уравнений
- •12. Показательные неравенства. Основные методы решения показательных неравенств.
- •13. Логарифмические уравнения. Основные методы решения логарифмических уравнений
- •14 . Логарифмические неравенства. Основные методы решения логарифмических неравенств
- •15. Основные методы решения тригонометрических уравнений
- •16. Основные методы решения тригонометрических неравенств
- •17 . Уравнение с параметрами. Решение линейных уравнений с параметрами.
- •18. Уравнения с параметрами. Решение квадратных уравнений с параметрами
- •19. Методы решения уравнения . Методы решения неравенства
- •20. Обобщающий метод интервалов для решения неравенств
- •21. Основные тригонометрические функции, их свойства, графики
- •22. Обратные тригонометрические функции, графики, свойства
- •1. Метрические соотношения в окружности. Свойства хорд. Свойства секущих и касательных к окружности. Измерение углов, связанных с окружностью
- •Свойства хорд
- •2. Окружность, вписанная в треугольник. Формулы, связывающие элементы треугольника с радиусом вписанной окружности
- •3. Окружность, описанная около треугольника. Формулы, связывающие элементы треугольника с радиусом описанной окружности
- •4. Прямая Эйлера
- •5. Окружность Эйлера
- •6. Вневписанная окружность.
- •7. Центроид треугольника
- •8. Ортоцентр треугольника. Ортотреугольник. Свойства ортоцентра треугольника
- •9. Вписанные четырехугольники. Вписанные многоугольники
- •10. Описанные четырехугольники. Описанные многоугольники
- •11. Теорема Пифагора. Обобщенная теорема Пифагора.
- •12. Теорема Пифагора для четырехугольников.
- •13. Теорема Птолемея.
- •14. Методы геометрических преобразований. Симметрия. Поворот. Параллельный перенос. Подобие. Гомотетия.
- •15. Метод площадей.
- •1.Свойства параллельного проектирования. Изображение плоских фигур. Требования к проекционным чертежам.
- •2. Свойства параллельного проектирования. Изображение многоугольников и тел вращения. Теорема Польке-Шварца.
- •3.Методы построения сечений многогранников.
- •4.Взаимное расположение прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые. Признак скрещивающихся прямых. Угол между скрещивающимися прямыми. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
- •Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Угол между прямой и плоскостью.
- •Взаимное расположение плоскостей в пространстве. Угол между плоскостями. Двугранный угол. Измерение двугранных углов.
- •Взаимное расположение плоскостей в пространстве. Многогранный угол. Трехгранный угол. Их свойства.
12. Показательные неравенства. Основные методы решения показательных неравенств.
Показательным неравенством называется неравенство, в котором неизвестная содержится только в показателе степени при постоянном основании а, а > 0, a 1.
Типы неравенств и способы их решения
Всюду далее f(x), g(x), h(x) – некоторые выражения с переменной.
I тип: неравенство вида (7) где b R.
Если то решением неравенства (7) является множество всех x из ОДЗ выражения f(x).
Если логарифмированием по основанию a неравенство (7) сводится к равносильному неравенству. При этом существенно учитывается величина основания a:
1) если то в результате логарифмирования получают неравенство
2) если то после логарифмирования приходят к неравенству
Далее решают в зависимости от вида выражения f(x).
Если исходное неравенство имело знак < или , или , то аналогично знак неравенства меняется на противоположный в случае и не изменяется в случае
II тип: неравенство вида (8)
Для решения неравенства (6.13) (или аналогичных ему со знаками , <, ) используют монотонность логарифма:
1) если 0 < a < 1, то неравенство (8) равносильно неравенству которое решают в зависимости от вида выражений f(x) и g(x);
2) если то неравенство (8) равносильно неравенству
III тип: неравенство вида (9) где F – некоторое выражение относительно
Вводят замену переменной и решают относительно переменной y неравенство
Найденные в качестве решения промежутки (если такие существуют) записывают в виде неравенств относительно y и затем возвращаются к переменной x. Остается решить полученные показательные неравенства.
Если переменная содержится и в основании степени, и в показателе, то такое неравенство называется показательно-степенным. Поскольку изменение знака неравенства зависит от величины основания, то для показательно-степенных неравенств рассматривают два случая, т. е. решают совокупность систем неравенств.
Показательно-степенные неравенства решают при условии, что основание степени положительно.
В частности, аналогом показательного неравенства (8) является следующее показательно-степенное неравенство (10)
Его решение сводится к решению совокупности:
13. Логарифмические уравнения. Основные методы решения логарифмических уравнений
Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестная величина содержится под знаком логарифма или в его основании.
При решении логарифмических уравнений обязательно учитывается ОДЗ логарифма. Если ОДЗ найти сложно, то можно только выписать условия, а затем проверить полученные корни подстановкой в ОДЗ (можно проверять подстановкой в уравнение, не выписывая ОДЗ).
Типы уравнений и способы их решения
Всюду далее f(x), g(x), h(x) – некоторые выражения с переменной (число).
I тип: уравнение вида: (1) где c R. ОДЗ:
На указанной ОДЗ уравнение (1) решают по определению логарифма:
II тип: уравнение вида (2) ОДЗ:
На основании равенства логарифмов, уравнение (2) сводится к равносильному ему (на указанной ОДЗ) уравнению: (3).
ОДЗ:
Данное уравнение на ОДЗ равносильно совокупности уравнений:
III тип: уравнения, решаемые заменой переменной (4), где F – некоторое выражение относительно
Необходимо определить ОДЗ уравнения, учитывая все условия существования логарифма и выражения F. Далее заменяют и решают уравнение
Если – корни последнего уравнения, то, после возвращения к старой переменной, необходимо решить совокупность
Полученные корни проверяют по ОДЗ.
З а м е ч а н и е. Если вместо какого-либо выражения f(x), g(x), h(x) уравнения (1)–(4) содержат число, то соответствующее условие не записывают в ОДЗ.