VI тип уравнений

Уравнения, решение которых основано на свойствах модуля

1. . 2. . М 3.

4. 5. 6. .

7. . 8. .

4. Модуль числа. Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля

Опр. |f(x)|=f(x), x>0 – модуль функции. –f(x), x<0

а , если а ≥ 0, – модуль числа

Определение: l а l=

–а, если а<0.

Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля

1 Способ. Использование геометрического смысла модуля.

Решить неравенство │х–2│< 3

Решение: Решениями неравенства будут числа, находящиеся на расстоянии меньше 3 от нуля модуля, равном 2.

Ответ: x є (–1;5)

2 Способ. Использование свойства модулей: модули противоположных чисел равны.

Если │а│=2, то а = 2 или а = – 2

3 Способ: Использование определение модуля числа.

а , если а ≥ 0,

Определение: l а l=

–а, если а<0.

3) Условие g(х) ≥ 0 является необходимым для существования решения уравнения │f(х)│= g (х). Но это не значит, что при условии g(х) ≥ 0 уравнение обязательно будет иметь корни.

Например, решить уравнение: │2х + 1│= х² + 2х +4

Решение: уравнение имеет решение, если х² + 2х +4 = (х + 2)² ≥ 0 при любых значениях х. Найдем корни уравнения:

│2х + 1│= х² + 2х +4

2х + 1 ≥ 0 2х – 1 < 0

2х + 1= х² + 2х +4 – (2х + 1)= х² + 2х +4

х ≥ –0,5 х < – 0,5

х² + 3 = 0 х² + 4х +5=0

нет корней

х ≥ –0,5

х² = – 3 нет корней

Ответ: коней нет.

4 Способ: Решение неравенства на интервалах

1. Решить неравенство │х +1│+│х – 3│ ≤ 5 Решение: нули модуля: –1; 3.

а) х (–∞; –1) – (х +1) – (х – 3) ≤ 5 –х –1 –х +3 ≤ 5 –2х ≤ 3 х ≥ –1,5

х [–1,5; –1)

б) х [ –1; 3) х + 1 – (х –3) ≤ 5 х + 1 – х +3 ≤ 5 0*х ≤1 , х любое число

х [ –1; 3)

в) х [ 3; +∞) х+1 + х –3 ≤ 5 2х ≤ 7 Х ≤ 3,5

х [ 3; 3,5]

Итак: Ответ: х [ –1,5; 3,5]

Методы решения

1)модуль меньше числа |f(x)|<=a

f(x)<=a

f(x)>= –a

2)модуль больше числа |f(x)|>a

f(x)>a

f(x)< –a

3)модуль меньше функции |f(x)|<g(x)

g(x)>=0

f(x)<g(x)

f(x)> –g(x)

4)модуль больше функции |f(x)|>g(x)

f(x)>g(x)

f(x)< –g(x)

5.Уравнения. Равносильные уравнения. Уравнения–следствия. Теоремы о равносильных преобразованиях уравнений

Уравнение – это математическое утверждение, записываемое в виде равенства двух буквенных выражений с переменными, которое истинно при одних значениях переменных и ложно при других их значениях.

Решить уравнение – значит найти все значения переменных, при которых это утверждение превращается в верное числовое равенство, или доказать, что таких значений не существует.

Уравнением с одним неизвестным называется равенство

(где заданные функции), в котором требуется найти все значения , при которых данное равенство является верным. Функция называется левой частью, а – правой частью уравнения. В частности, может быть .

Областью определения уравнения называется множество всех значений переменной , при которых одновременно имеют смысл и левая, и правая части уравнения. Область определения уравнения определяется пересечением областей определения функций и .

Корнем (или решением) уравнения называется всякое число , при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство . Уравнение может иметь один, два, три и большее число корней, а также бесконечное их множество или не иметь корней вовсе.

Замечание. Решение уравнения считается правильным только в том случае, если найдены все корни уравнения и в процессе решения убедительно доказано, что множество корней именно такое, как указанно в ответе. В частности, метод «угадывания» корней считается правильным, если доказано, что других корней нет.

Уравнение вида , где

называется уравнением с параметром , если ставиться задача для каждого значения параметра найти множество его корней . В общем случае каждый корень уравнения зависит от значения параметра: .

Процесс решения уравнения – это последовательность некоторых преобразований, производимых над левой и правой частями уравнения и позволяющих заменить данное уравнение другим уравнением, решение которого известно или очевидно.

Пусть в процессе решения уравнения было получено уравнение . Говорят, что при этом произошла потеря корней, если существует хотя бы одно число , которое является корнем исходного уравнения, но не является корнем уравнения .

Если преобразование уравнений может привести к потере корней, необходимо отдельно рассмотреть «выпадающие» в результате выполнения этого преобразования значения переменных, проверив их на принадлежность к множеству решений.

Число называется посторонним корнем уравнения , если оно, являясь корнем уравнения , не является корнем исходного уравнения.

Равносильными называются два уравнения и , если они имеют одно и то же множество решений (или оба они не имеют корней). Равносильность обозначается символом : .

Уравнения называются равносильными на некотором множестве значений неизвестной, входящем в области определения уравнений, если они имеют одни и те же решения, принадлежащие множеству .

Если все корни уравнения являются корнями уравнения (при этом области определения уравнений могут не совпадать), то второе уравнение называют уравнением–следствием первого и пишут .