- •1. Рациональные уравнения и методы их решения
- •Методы их решения
- •1. Использование области определения уравнения.
- •2. Разложение на множители.
- •3. Замена переменной.
- •Функциональные методы
- •4. Использование ограниченности функций.
- •5. Использование монотонности функций.
- •2. Рациональные неравенства и методы их решения
- •Алгебраические неравенства.
- •3. Модуль числа. Решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля
- •Основные свойства модуля:
- •I тип уравнений
- •II тип уравнений
- •III тип уравнений
- •IV тип уравнений
- •V тип уравнений
- •VI тип уравнений
- •4. Модуль числа. Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля
- •1 Способ. Использование геометрического смысла модуля.
- •2 Способ. Использование свойства модулей: модули противоположных чисел равны.
- •3 Способ: Использование определение модуля числа.
- •4 Способ: Решение неравенства на интервалах
- •5.Уравнения. Равносильные уравнения. Уравнения–следствия. Теоремы о равносильных преобразованиях уравнений
- •Преобразования, приводящие к равносильному уравнению
- •Теоремы о равносильных преобразованиях уравнений
- •6. Неравенства. Равносильные неравенства. Неравенства-следствия. Теоремы о равносильных преобразованиях неравенств
- •7. Системы и совокупности уравнений. Основные методы решения систем уравнений
- •Системы и совокупности уравнений
- •8. Системы и совокупности неравенств
- •Основные методы решения систем двух неравенств с двумя неизвестными
- •9. Иррациональные уравнения. Основные методы решения иррациональных уравнений
- •10. Иррациональные неравенства. Основные методы решения иррациональных неравенств
- •11. Показательные уравнения. Основные методы решения показательных уравнений
- •12. Показательные неравенства. Основные методы решения показательных неравенств.
- •13. Логарифмические уравнения. Основные методы решения логарифмических уравнений
- •14 . Логарифмические неравенства. Основные методы решения логарифмических неравенств
- •15. Основные методы решения тригонометрических уравнений
- •16. Основные методы решения тригонометрических неравенств
- •17 . Уравнение с параметрами. Решение линейных уравнений с параметрами.
- •18. Уравнения с параметрами. Решение квадратных уравнений с параметрами
- •19. Методы решения уравнения . Методы решения неравенства
- •20. Обобщающий метод интервалов для решения неравенств
- •21. Основные тригонометрические функции, их свойства, графики
- •22. Обратные тригонометрические функции, графики, свойства
- •1. Метрические соотношения в окружности. Свойства хорд. Свойства секущих и касательных к окружности. Измерение углов, связанных с окружностью
- •Свойства хорд
- •2. Окружность, вписанная в треугольник. Формулы, связывающие элементы треугольника с радиусом вписанной окружности
- •3. Окружность, описанная около треугольника. Формулы, связывающие элементы треугольника с радиусом описанной окружности
- •4. Прямая Эйлера
- •5. Окружность Эйлера
- •6. Вневписанная окружность.
- •7. Центроид треугольника
- •8. Ортоцентр треугольника. Ортотреугольник. Свойства ортоцентра треугольника
- •9. Вписанные четырехугольники. Вписанные многоугольники
- •10. Описанные четырехугольники. Описанные многоугольники
- •11. Теорема Пифагора. Обобщенная теорема Пифагора.
- •12. Теорема Пифагора для четырехугольников.
- •13. Теорема Птолемея.
- •14. Методы геометрических преобразований. Симметрия. Поворот. Параллельный перенос. Подобие. Гомотетия.
- •15. Метод площадей.
- •1.Свойства параллельного проектирования. Изображение плоских фигур. Требования к проекционным чертежам.
- •2. Свойства параллельного проектирования. Изображение многоугольников и тел вращения. Теорема Польке-Шварца.
- •3.Методы построения сечений многогранников.
- •4.Взаимное расположение прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые. Признак скрещивающихся прямых. Угол между скрещивающимися прямыми. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
- •Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Угол между прямой и плоскостью.
- •Взаимное расположение плоскостей в пространстве. Угол между плоскостями. Двугранный угол. Измерение двугранных углов.
- •Взаимное расположение плоскостей в пространстве. Многогранный угол. Трехгранный угол. Их свойства.
17 . Уравнение с параметрами. Решение линейных уравнений с параметрами.
Опр. Если для каждого значения а ∊ А решить уравнение F(x;a)=0 относительно x,то это уравнение наз. уравнение с переменной х и параметром а.(множество А-область значения параметра. Если про множество А ничего не сказано ⇨ а ∊ R ,и можно найти все значения
a,при переходе через которой произошло качественное изменение - наз. контрол. ⇨ решить уравнение с параметром –это значит найти такие контрольные а ,при переходе через которые существенно меняются корни уравнения.) Каждое уравнение вида F(x;a)=0 можно рассматривать как уравнение с параметром. Решить уравнение с параметром означает, для каждого допустимого значения параметра найти множество решений уравнения ,или доказать что решений нет.
Линейное уравнение в зависимости от значения параметра а могут иметь: 1) единственное решение 2) бесконечно много решений 3) не иметь решений.
Для того, чтобы решить уравнение с параметром необходимо:
1)определить тип уравнения.
2)привести уравнение к стандартному виду.
3)исследовать решение уравнения, согласно с теорией решения уравнения определенного вида.
Основными методами решения с параметрами является: аналитический , графический (функциональный) и комбинированный.
Cтандартный вид: ax+b=0 (1)
1)когда а≠0,то единственный корень х=
2)когда 3)когда ⇨ решений нет
Пр1. 1+x=ax (аналитический метод)
x-ax=-1
x(1-a)=-1
н.з : a=1 0·x=-1 ·Ø
a x
Ответ : при a=1, x
18. Уравнения с параметрами. Решение квадратных уравнений с параметрами
Квадратные уравнения с параметром.
Функция вида (- квадратный трехчлен), где , в школьном курсе математики придается большое значение. Для нее строго доказываются все свойства, нужные в теории и для решения задач.
Безукоризненное знание необходимых свойств квадратного трехчлена требуется от каждого абитуриента, так как квадратный трехчлен с параметром часто включается в варианты письменных работ и в тесты для собеседования на вступительных экзаменах в ВУЗы. Как правило, большая часть абитуриентов с этими задачами не справляется. Значит, им надо уделять больше внимания на факультативных занятиях в школе, на страницах печати.
При решении таких задач приходится работать с тремя типами моделей:
-
вербальная модель – словесное описание задачи;
-
геометрическая модель – график квадратичной функции;
-
аналитическая модель – система неравенств, при помощи которой описывается геометрическая модель.
Важно уметь устанавливать связь между этими моделями. Например, если старший коэффициент квадратного трехчлена меньше нуля, то ветви параболы направлены вниз, или, если , то трехчлен имеет различные действительные корни и график пересекает ось абсцисс в двух точках. График (парабола) находится ниже находится ниже оси абсцисс, следовательно, a<0 и D<0. Последнюю геометрическую модель можно описать еще тремя способами: неравенство выполняется при любом х; неравенство не имеет решений; трехчлен не имеет действительных корней и его старший коэффициент отрицателен.
Многие задачи решают по следующему алгоритмическому предписанию:
-
уравнение записывают в виде ;
-
выбирают контрольные значения параметра ( в качестве контрольных значений параметра чаще всего берут такие, что D=0, D<0, D>0, старший коэффициент квадратного трехчлена положительный, отрицательный, равный нулю и те значения параметра, при которых трехчлен становится неполным);
-
для каждого случая строят параболу ( геометрическую модель);
-
геометрическую модель описывают системой неравенств(аналитическая модель);
-
решают систему неравенств.
С помощью нахождения дискриминанта можно определить количество решений.
1) если D<0, то уравнение не имеет корней;
2) если D=0, то уравнение имеет один единственный корень;
3) если D>0, то уравнение имеет два решения.
Также рассмотрим возможные случаи при решении квадратных уравнений с параметром:
Пусть - абсцисса вершины; , - корни трехчлена; A,B – некоторые точки на оси
1) , , тогда и только тогда, когда или
-
корни лежат по разные стороны от числа А тогда и только тогда, когда или
-
оба коня больше А: или
-
оба корня лежат между числами А и В тогда и только тогда, когда или
-
корни лежат по разные стороны от отрезка [AB] тогда и только тогда, когда
или
В некоторых случаях при решении используется теорема Виета: 1. Квадратный трехчлен
2. Корни квадратного трехчлена и , причем
3. Дискриминант квадратного трехчлена
В случае четности второго коэффициента
4. Теорема
6) Уравнение имеет два отрицательных корня при условии:
7) Уравнение имеет два положительных корня при условии: