![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Рациональные уравнения и методы их решения
- •Методы их решения
- •1. Использование области определения уравнения.
- •2. Разложение на множители.
- •3. Замена переменной.
- •Функциональные методы
- •4. Использование ограниченности функций.
- •5. Использование монотонности функций.
- •2. Рациональные неравенства и методы их решения
- •Алгебраические неравенства.
- •3. Модуль числа. Решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля
- •Основные свойства модуля:
- •I тип уравнений
- •II тип уравнений
- •III тип уравнений
- •IV тип уравнений
- •V тип уравнений
- •VI тип уравнений
- •4. Модуль числа. Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля
- •1 Способ. Использование геометрического смысла модуля.
- •2 Способ. Использование свойства модулей: модули противоположных чисел равны.
- •3 Способ: Использование определение модуля числа.
- •4 Способ: Решение неравенства на интервалах
- •5.Уравнения. Равносильные уравнения. Уравнения–следствия. Теоремы о равносильных преобразованиях уравнений
- •Преобразования, приводящие к равносильному уравнению
- •Теоремы о равносильных преобразованиях уравнений
- •6. Неравенства. Равносильные неравенства. Неравенства-следствия. Теоремы о равносильных преобразованиях неравенств
- •7. Системы и совокупности уравнений. Основные методы решения систем уравнений
- •Системы и совокупности уравнений
- •8. Системы и совокупности неравенств
- •Основные методы решения систем двух неравенств с двумя неизвестными
- •9. Иррациональные уравнения. Основные методы решения иррациональных уравнений
- •10. Иррациональные неравенства. Основные методы решения иррациональных неравенств
- •11. Показательные уравнения. Основные методы решения показательных уравнений
- •12. Показательные неравенства. Основные методы решения показательных неравенств.
- •13. Логарифмические уравнения. Основные методы решения логарифмических уравнений
- •14 . Логарифмические неравенства. Основные методы решения логарифмических неравенств
- •15. Основные методы решения тригонометрических уравнений
- •16. Основные методы решения тригонометрических неравенств
- •17 . Уравнение с параметрами. Решение линейных уравнений с параметрами.
- •18. Уравнения с параметрами. Решение квадратных уравнений с параметрами
- •19. Методы решения уравнения . Методы решения неравенства
- •20. Обобщающий метод интервалов для решения неравенств
- •21. Основные тригонометрические функции, их свойства, графики
- •22. Обратные тригонометрические функции, графики, свойства
- •1. Метрические соотношения в окружности. Свойства хорд. Свойства секущих и касательных к окружности. Измерение углов, связанных с окружностью
- •Свойства хорд
- •2. Окружность, вписанная в треугольник. Формулы, связывающие элементы треугольника с радиусом вписанной окружности
- •3. Окружность, описанная около треугольника. Формулы, связывающие элементы треугольника с радиусом описанной окружности
- •4. Прямая Эйлера
- •5. Окружность Эйлера
- •6. Вневписанная окружность.
- •7. Центроид треугольника
- •8. Ортоцентр треугольника. Ортотреугольник. Свойства ортоцентра треугольника
- •9. Вписанные четырехугольники. Вписанные многоугольники
- •10. Описанные четырехугольники. Описанные многоугольники
- •11. Теорема Пифагора. Обобщенная теорема Пифагора.
- •12. Теорема Пифагора для четырехугольников.
- •13. Теорема Птолемея.
- •14. Методы геометрических преобразований. Симметрия. Поворот. Параллельный перенос. Подобие. Гомотетия.
- •15. Метод площадей.
- •1.Свойства параллельного проектирования. Изображение плоских фигур. Требования к проекционным чертежам.
- •2. Свойства параллельного проектирования. Изображение многоугольников и тел вращения. Теорема Польке-Шварца.
- •3.Методы построения сечений многогранников.
- •4.Взаимное расположение прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые. Признак скрещивающихся прямых. Угол между скрещивающимися прямыми. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
- •Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Угол между прямой и плоскостью.
- •Взаимное расположение плоскостей в пространстве. Угол между плоскостями. Двугранный угол. Измерение двугранных углов.
- •Взаимное расположение плоскостей в пространстве. Многогранный угол. Трехгранный угол. Их свойства.
21. Основные тригонометрические функции, их свойства, графики
Синус
Синусом числа а называется ордината точки, изображающей это число на числовой окружности. Синусом угла в а радиан называется синус числа а. Синус - функция числа x. Ее область определения - множество всех чисел, так как у любого числа можно найти ординату изображающей его точки.
Область
значений синуса - отрезок от -1 до 1, так
как любое число этого отрезка на оси
ординат является проекцией какой-либо
точки окружности, но никакая точка вне
этого отрезка не является проекцией
какой-либо из этих точек. Период синуса
равен
. Ведь через каждые
положение
точки, изображающей число, в точности
повторяется.
Знак
синуса: синус равен нулю при
,
где n - любое целое число;
синус
положителен при
,
где n - любое целое число;
синус
отрицателен при
,
где n - любое целое число.
Синус
- функция нечетная. Во-первых, область
определения этой функции есть множество
всех чисел, а значит,
симметрична
относительно начала отсчета. А во-вторых,
если отложить от начала два противоположных
числа: x и -x, то их ординаты - синусы -
окажутся также противоположными. То
есть
для
любого x.
Синус
возрастает на отрезках
,
где n - любое целое число.
Cинус
убывает на отрезке
,
где n - любое целое число.
при
;
при
.
Косинус
Косинусом
числа а называется абсцисса точки,
изображающей это число на числовой
окружности. Косинусом угла в а радиан
называется косинус числа а. Косинус -
функция числа. Ее область определения
- множество всех чисел, так как у любого
числа можно найти ординату изображающей
его точки. Область значений косинуса -
отрезок от -1 до 1, так как любое число
этого отрезка на оси абсцисс является
проекцией какой-либо точки окружности,
но никакая точка вне этого отрезка не
является проекцией какой-либо из этих
точек. Период косинуса равен
.
Ведь через каждые
положение
точки, изображающей число, в точности
повторяется.
Знак косинуса:
косинус
равен нулю при
,
где n - любое целое число;
косинус
положителен при
,
где n - любое целое число;
косинус
отрицателен при
,
где n - любое целое число.
Косинус
- функция четная. Во-первых, область
определения этой функции есть множество
всех чисел, а значит,
симметрична
относительно начала отсчета. А во-вторых,
если отложить от начала два противоположных
числа: x и -x, то их абсциссы - косинусы -
окажутся равными. То есть
для
любого x.
Косинус
возрастает на отрезках
,
где n - любое целое число.
Косинус
убывает на отрезках
,
где n - любое целое число.
при
;
при
.
Тангенс
Тангенсом
числа называется отношение синуса этого
числа к косинусу этого числа:
.
Тангенсом
угла в а радиан называется тангенс числа
а. Тангенс - функция числа. Ее область
определения - множество всех чисел, у
которых косинус не равен нулю, так как
никаких других ограничений в определении
тангенса нет. И так как косинус равен
нулю при
,
то
,
где
.
Область значений тангенса - множество всех действительных чисел.
Период
тангенса равен
.
Ведь если взять любые два допустимые
значения x (не равные
),
отличающиеся друг от друга на
,
и провести через них прямую, то эта
прямая пройдет через начало координат
и пересечет линию тангенсов в некоторой
точке t. Вот и получится, что
,
то есть число
является
периодом тангенса. Знак
тангенса: тангенс
- отношение синуса к косинусу. Значит,
он равен нулю, когда синус равен нулю,
то есть при
,
где n - любое целое число.
положителен,
когда синус и косинус имеют одинаковые
знаки. Это бывает только в первой и в
третьей четвертях, то есть при
,
где а - любое целое число.
отрицателен,
когда синус и косинус имеют разные
знаки. Это бывает только во второй и в
четвертой четвертях, то есть при
,
где а - любое целое число.
Тангенс
- функция нечетная. Во-первых, область
определения этой функции симметрична
относительно начала отсчета. А во-вторых,
.
В силу нечетности синуса и четности
косинуса, числитель полученной дроби
равен
,
а ее знаменатель равен
,
а значит, сама эта дробь равна
.
Вот и получилось, что
.
Значит,
тангенс возрастает на каждом участке
своей области определения, то есть на
всех интервалах вида
,
где а - любое целое число.
Котангенс
Котангенсом
числа называется отношение косинуса
этого числа к синусу этого числа:
.
Котангенсом угла в а радиан называется
котангенс числа а. Котангенс - функция
числа. Ее область определения - множество
всех чисел, у которых синус не равен
нулю, так как никаких других ограничений
в определении котангенса нет. И так как
синус равен нулю при
,
то
,
где
Область
значений котангенса - множество всех
действительных чисел.
Период
котангенса равен периоду тангенса. Ведь
если взять любые два допустимые значения
x (не равные
),
отличающиеся друг от друга на период
тангенса, и провести через них прямую,
то эта прямая пройдет через начало
координат и пересечет линию котангенсов
в некоторой точке t. Вот и получится, что
,
то есть, что число
является
периодом котангенса.
Знак котангенса: котангенс - отношение косинуса к синусу. Значит, он
равен
нулю, когда косинус равен нулю, то есть
при
.
положителен,
когда синус и косинус имеют одинаковые
знаки. Это бывает только в первой и в
третьей четвертях, то есть при
.
отрицателен,
когда синус и косинус имеют разные
знаки. Это бывает только во второй и в
четвертой четвертях, то есть при
.
Котангенс
- функция нечетная. Во-первых, область
определения этой функции симметрична
относительно начала отсчета. А во-вторых,
.
В
силу нечетности синуса и четности
косинуса, числитель полученной дроби
равен
,
а ее знаменатель равен
,
а значит, сама эта дробь равна
.
Вот
и получилось, что
.
Котангенс убывает на каждом участке
своей области определения, то есть на
всех интервалах вида
.