![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Раздел «линейная и векторная алгебра»
- •1.Основные алгебраические структуры: группа, кольцо, поле.
- •2.Определители 2-го, 3-го, n-го порядков, их свойства, способы вычисления.
- •3.Алгебраические дополнения и миноры. Правило Крамера.
- •4.Матрицы, линейные операции над ними и их свойства. Умножение матриц.
- •5.Понятие обратной матрицы. Необходимое и достаточное условие ее существования и методы вычисления.
- •6.Понятие n-мерного векторного пространства.
- •7.Ранг матрицы, его вычисление. Теорема Кронекера-Капелли.
- •8.Теорема о базисном миноре.
- •9.Проекция вектора на ось, свойства проекций. Направляющие косинусы.
- •10.Векторы, линейные операции над ними. Длина вектора. Линейная зависимость
- •11.Скалярное произведение векторов, его свойства и выражение через
- •12. Векторное произведение векторов, его свойства и выражение через
- •13. Смешанное произведение векторов, его свойства и выражение через
- •2. Раздел «аналитическая геометрия»
- •1.Понятие об уравнении линии и поверхности. Полярная система координат.
- •2. Уравнение прямой линии на плоскости: общее, с угловым коэффициентом,
- •3. Общее уравнение плоскости в пространстве, расстояние от точки до
- •4. Различные формы уравнения прямой в пространстве (канонические,
- •5. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола,
- •Кривая второго порядка может быть задана уравнением
- •6. Уравнения поверхности в пространстве. Цилиндрические
- •7. Преобразование координат: поворот и параллельный перенос,
- •1. Прямоугольные координаты точки на плоскости
- •Т.Е. Новые координаты точки м(х'у') равны ее старым координатам минус координаты нового начала. Обратно, из (1.1.1) находим
- •3. Введение в математический анализ
- •1. Числовые множества. Ограниченные и неограниченные множества. Верхние и нижние грани множества. Предельные точки множества.
- •2.Предел числовой последовательности. Единственность предела.
- •3. Понятие функции, способы ее задания. Сложные функции.
- •4. Односторонние пределы. Ограниченность функции, имеющей предел.
- •5. Бесконечно малые функции и их свойства. Произведение
- •6. Предел суммы, произведения и частного функции.
- •7. Первый замечательный предел.
- •8.Второй замечательный предел. Число "е".
- •9.Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые. Замена бесконечно малых эквивалентными при вычислении пределов.
- •10.Непрерывность функции. Непрерывность основных элементарных функций. Точки разрыва функции и их классификация.
- •11.Непрерывность функции на отрезке. Свойства непрерывных на отрезке функций: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных значений.
- •12.Производная функции, ее геометрический смысл.
- •13.Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала.
- •14.Параметрически заданные функции и их дифференцирование. Дифференцирование функции, заданной неявно.
- •15.Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа.
- •16.Раскрытие неопределенностей, правила Лопиталя.
- •17.Условие возрастания и убывания функций. Точки экстремума. Отыскание наибольших и наименьших значений непрерывной на отрезке функции.
- •18. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Асимптоты кривой. Общая схема построения графика.
- •4. Функции многих переменных
- •1.Понятие метрического пространства. Открытые и замкнутые множества.
- •2.Функции многих переменных. Частные производные и полный дифференциал ф.М.П.
- •3.Дифференцирование сложных ф.М.П. Производная по направлению.
- •4.Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Частные производные высших порядков.
- •5.Экстремумы ф.М.П. Достаточное условие экстремума.
12. Векторное произведение векторов, его свойства и выражение через
координаты сомножителей, геометрический смысл его модуля.
Определение.
Векторным
произведением векторов
и
называется вектор
,
удовлетворяющий следующим условиям:
1)
,
где
- угол между векторами
и
,
2)
вектор
ортогонален
векторам
и
3)
,
и
образуют правую тройку векторов.
Обозначается:
или
.
Свойства векторного произведения векторов:
1)
;
2)
,
если
или
=
0 или
=
0;
3)
(m)
=
(m
)
= m(
);
4)
(
+
)
=
+
;
5)
Если заданы векторы
(xa,
ya,
za)
и
(xb,
yb,
zb)
в декартовой прямоугольной системе
координат с единичными векторами
,
то
=
6)
Геометрическим смыслом векторного
произведения векторов является площадь
параллелограмма, построенного на
векторах
и
.
Пример.
Найти векторное произведение векторов
и
.
= (2, 5, 1);
=
(1, 2, -3)
.
Пример. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(2, 2, 2), В(4, 0, 3),
С(0, 1, 0).
(ед2).
Пример.
Доказать, что векторы
,
и
компланарны.
,
т.к. векторы линейно зависимы, то они
компланарны.
Пример.
Найти площадь параллелограмма,
построенного на векторах
,
если
(ед2).
13. Смешанное произведение векторов, его свойства и выражение через
координаты сомножителей. Геометрический смысл смешанного
произведения, условие компланарности трех векторов.
Определение.
Смешанным
произведением
векторов
,
и
называется число, равное скалярному
произведению вектора
на вектор, равный векторному произведению
векторов
и
.
Обозначается
или
(
,
,
).
Смешанное
произведение
по модулю равно объему параллелепипеда,
построенного на векторах
,
и
.
Свойства смешанного произведения:
1)Смешанное произведение равно нулю, если:
а) хоть один из векторов равен нулю;
б) два из векторов коллинеарны;
в) векторы компланарны.
2)
3)
4)
5)
Объем треугольной пирамиды, образованной
векторами
,
и
,
равен
6)Если
,
,
то
Пример. Доказать, что точки А(5; 7; 2), B(3; 1; -1), C(9; 4; -4), D(1; 5; 0) лежат в одной плоскости.
Найдем
координаты векторов:
Найдем смешанное произведение полученных векторов:
,
Таким образом, полученные выше векторы компланарны, следовательно точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.
Пример. Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной на грань BCD, если вершины имеют координаты A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2).
Найдем
координаты векторов:
Объем
пирамиды
Для нахождения длины высоты пирамиды найдем сначала площадь основания BCD.
Sосн
=
(ед2)
Т.к.
V
=
;
(ед)
Условие компланарности векторов: три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.