![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Раздел «линейная и векторная алгебра»
- •1.Основные алгебраические структуры: группа, кольцо, поле.
- •2.Определители 2-го, 3-го, n-го порядков, их свойства, способы вычисления.
- •3.Алгебраические дополнения и миноры. Правило Крамера.
- •4.Матрицы, линейные операции над ними и их свойства. Умножение матриц.
- •5.Понятие обратной матрицы. Необходимое и достаточное условие ее существования и методы вычисления.
- •6.Понятие n-мерного векторного пространства.
- •7.Ранг матрицы, его вычисление. Теорема Кронекера-Капелли.
- •8.Теорема о базисном миноре.
- •9.Проекция вектора на ось, свойства проекций. Направляющие косинусы.
- •10.Векторы, линейные операции над ними. Длина вектора. Линейная зависимость
- •11.Скалярное произведение векторов, его свойства и выражение через
- •12. Векторное произведение векторов, его свойства и выражение через
- •13. Смешанное произведение векторов, его свойства и выражение через
- •2. Раздел «аналитическая геометрия»
- •1.Понятие об уравнении линии и поверхности. Полярная система координат.
- •2. Уравнение прямой линии на плоскости: общее, с угловым коэффициентом,
- •3. Общее уравнение плоскости в пространстве, расстояние от точки до
- •4. Различные формы уравнения прямой в пространстве (канонические,
- •5. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола,
- •Кривая второго порядка может быть задана уравнением
- •6. Уравнения поверхности в пространстве. Цилиндрические
- •7. Преобразование координат: поворот и параллельный перенос,
- •1. Прямоугольные координаты точки на плоскости
- •Т.Е. Новые координаты точки м(х'у') равны ее старым координатам минус координаты нового начала. Обратно, из (1.1.1) находим
- •3. Введение в математический анализ
- •1. Числовые множества. Ограниченные и неограниченные множества. Верхние и нижние грани множества. Предельные точки множества.
- •2.Предел числовой последовательности. Единственность предела.
- •3. Понятие функции, способы ее задания. Сложные функции.
- •4. Односторонние пределы. Ограниченность функции, имеющей предел.
- •5. Бесконечно малые функции и их свойства. Произведение
- •6. Предел суммы, произведения и частного функции.
- •7. Первый замечательный предел.
- •8.Второй замечательный предел. Число "е".
- •9.Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые. Замена бесконечно малых эквивалентными при вычислении пределов.
- •10.Непрерывность функции. Непрерывность основных элементарных функций. Точки разрыва функции и их классификация.
- •11.Непрерывность функции на отрезке. Свойства непрерывных на отрезке функций: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных значений.
- •12.Производная функции, ее геометрический смысл.
- •13.Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала.
- •14.Параметрически заданные функции и их дифференцирование. Дифференцирование функции, заданной неявно.
- •15.Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа.
- •16.Раскрытие неопределенностей, правила Лопиталя.
- •17.Условие возрастания и убывания функций. Точки экстремума. Отыскание наибольших и наименьших значений непрерывной на отрезке функции.
- •18. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Асимптоты кривой. Общая схема построения графика.
- •4. Функции многих переменных
- •1.Понятие метрического пространства. Открытые и замкнутые множества.
- •2.Функции многих переменных. Частные производные и полный дифференциал ф.М.П.
- •3.Дифференцирование сложных ф.М.П. Производная по направлению.
- •4.Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Частные производные высших порядков.
- •5.Экстремумы ф.М.П. Достаточное условие экстремума.
3.Дифференцирование сложных ф.М.П. Производная по направлению.
Теорема. Пусть u
= f (х, у) задана
в области D и пусть х = х(t
) и у = у(t
) определены
в области , причём,
когда
, то
х и у принадлежат области D . Пусть
функция u дифференцируема в точке
M0 (x0, y0, z0),
а функции х(t
) и
у(t
) дифференцируемы
в соответствующей точке t0,
то сложная функция u =
f [x(t), y(t)]=F (t) дифференцируема
в точке t0 и
имеет место равенство:
.
Доказательство. Так как u дифференцируема по условию в точке (x0, y0), то её полное приращение представляется в виде
.
Разделив
это соотношение на ,
получим:
.
Перейдём
к пределу при и
получим формулу
.
Замечание 1. Если u = u(x, y) и x = x, y = y(x), то полная производная функции u по переменной х
или
.
Последнее равенство можно использовать для доказательства правила дифференцирования функции одной переменной, заданной неявно в виде F(x, y) = 0, где y = y(x) (см. тему № 3 и пример 14).
Имеем: .
Отсюда
.
(6.1)
Вернёмся к примеру 14 темы № 3:
;
;
;
.
Как видим, ответы совпали.
Замечание 2. Пусть u = f (х, у), где х = х(t , v), у = у(t , v). Тогда u есть в конечном счёте сложная функция двух переменных t и v . Если теперь функция u дифференцируема в точке M0 (x0, y0), а функции х и у дифференцируемы в соответствующей точке (t0, v0), то можно говорить о частных производных по t и v от сложной функции в точке (t0, v0). Но если мы говорим о частной производной по t в указанной точке, то вторая переменная v считается постоянной и равной v0. Следовательно, речь идёт о производной только от сложной функции по t и, следовательно, мы можем воспользоваться выведенной формулой. Таким образом, получим:
и
.
Пример 13. Найти полную производную функции u = x y, где x = sin t, y = cos t .
.
Рассмотрим функцию u(x, y, z) в точке М( x, y, z) и точке М1( x + x, y + y, z + z).
Проведем
через точки М и М1
вектор
.
Углы наклона этого вектора к направлению
координатных осей х, у, z
обозначим соответственно ,
,
.
Косинусы этих углов называются
направляющими
косинусами вектора
.
Расстояние
между точками М и М1
на векторе
обозначим S.
Высказанные выше предположения, проиллюстрируем на рисунке:
z
M
M1
y
x
Далее предположим, что функция u(x, y, z) непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным х, у и z. Тогда правомерно записать следующее выражение:
,
где
величины 1,
2,
3
– бесконечно малые при
.
Из геометрических соображений очевидно:
Таким образом, приведенные выше равенства могут быть представлены следующим образом:
;
Заметим,
что величина s
является скалярной. Она лишь определяет
направление вектора
.
Из этого уравнения следует следующее определение:
Определение:
Предел
называется производной
функции u(x,
y,
z)
по направлению вектора
в
точке с координатами ( x,
y,
z).
Поясним значение изложенных выше равенств на примере.
Пример.
Вычислить производную функции z
= x2
+ y2x
в точке А(1, 2) по направлению вектора
.
В (3, 0).
Решение.
Прежде всего необходимо определить
координаты вектора
.
=(3-1;
0-2) = (2; -2) = 2
.
Далее определяем модуль этого вектора:
=
Находим частные производные функции z в общем виде:
Значения
этих величин в точке А :
Для
нахождения направляющих косинусов
вектора
производим следующие преобразования:
=
За
величину
принимается произвольный вектор,
направленный вдоль заданного вектора,
т.е. определяющего направление
дифференцирования.
Отсюда
получаем значения направляющих косинусов
вектора
:
cos
=
;
cos
= -
Окончательно
получаем:
- значение производной заданной функции
по направлению вектора
.
Градиент.
Определение: Если в некоторой области D задана функция u = u(x, y, z) и некоторый вектор, проекции которого на координатные оси равны значениям функции u в соответствующей точке
,
то этот вектор называется градиентом функции u.
При этом говорят, что в области D задано поле градиентов.
Связь градиента с производной по направлению.
Теорема: Пусть задана функция u = u(x, y, z) и поле градиентов
.
Тогда
производная
по направлению некоторого вектора
равняется проекции вектора gradu
на вектор
.
Доказательство:
Рассмотрим единичный вектор
и некоторую функцию u
= u(x,
y,
z)
и найдем скалярное произведение векторов
и gradu.
Выражение, стоящее в правой части этого равенства является производной функции u по направлению s.
Т.е.
.
Если угол между векторами gradu
и
обозначить через ,
то скалярное произведение можно записать
в виде произведения модулей этих векторов
на косинус угла между ними. С учетом
того, что вектор
единичный, т.е. его модуль равен единице,
можно записать:
Выражение,
стоящее в правой части этого равенства
и является проекцией вектора
gradu
на вектор
.
Теорема доказана.